10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Модификация графиков. Функции y=tg x, y=ctg x.

Комментарии преподавателя

Функ­ция y=ctgt, её свой­ства и гра­фик

 1. Определение котангенса

За­да­дим един­ствен­ное число  Каж­до­му дей­стви­тель­но­му числу  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка  на чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 1). Точка  имеет абс­цис­су и ор­ди­на­ту, абс­цис­су на­зы­ва­ют ко­си­ну­сом числа  ор­ди­на­ту – си­ну­сом числа  От­но­ше­ние ко­си­ну­са к си­ну­су на­зы­ва­ет­ся ко­тан­ген­сом числа 

Каж­до­му до­пу­сти­мо­му зна­че­нию  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка на окруж­но­сти, един­ствен­ная пара её ко­ор­ди­нат, а зна­чит и един­ствен­ное зна­че­ние дроби  т.е. един­ствен­ное зна­че­ние ко­тан­ген­са Таким об­ра­зом, за­да­ёт­ся функ­ция  или 

Ар­гу­мен­том функ­ции ко­тан­генс может быть число  или угол . Вспом­ним связь между чис­ло­вым и уг­ло­вым ар­гу­мен­та­ми.

Ра­ди­а­ном на­зы­ва­ет­ся такой цен­траль­ный угол, длина дуги ко­то­ро­го равна  (рис. 2).

В окруж­но­сти  штук ра­ди­ан.

Если  то 

Если есть угол  и окруж­ность ра­ди­у­са 1, то длина этой дуги или ар­гу­мент  свя­за­ны с  сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 2. Котангенс на числовой окружности

Как опре­де­лить зна­че­ния ко­тан­ген­са для кон­крет­ных зна­че­ний чис­ло­во­го или уг­ло­во­го ар­гу­мен­та? Они рас­по­ло­же­ны на линии ко­тан­ген­сов – ка­са­тель­ной к окруж­но­сти в точке B (рис. 3).

Возь­мем ар­гу­мент  или угол  Ар­гу­мен­ту  или углу в ра­ди­а­нах со­от­вет­ству­ют синус и ко­си­нус. Рас­смот­рим 

 3. График функции y=ctgt

Изоб­ра­зим гра­фик функ­ции  в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. По фор­му­лам при­ве­де­ния  По­это­му для по­стро­е­ния гра­фи­ка функ­ции до­ста­точ­но гра­фик функ­ции  сим­мет­рич­но отоб­ра­зить от­но­си­тель­но оси х и сдви­нуть вдоль оси х на  влево (рис. 4).

 4. Свойства функции y=ctgt

Ис­сле­ду­ем гра­фик функ­ции 

1) Об­ласть опре­де­ле­ния: 

2) Об­ласть зна­че­ний:

a) Каж­до­му до­пу­сти­мо­му  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние 

b) Любой  до­сти­га­ет­ся при одном либо несколь­ких зна­че­ни­ях 

3) Функ­ция нечет­на:

Гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

4) Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од 

Зна­че­ние пе­ри­о­да ко­тан­ген­са  также сле­ду­ет из фор­му­лы

  при том, что нам из­ве­стен пе­ри­од тан­ген­са.

5) Точки пе­ре­се­че­ния с осью x: 

Точки пе­ре­се­че­ния с осью y от­сут­ству­ют (рис. 4).

6) Опре­де­лим ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства (рис. 5):

7) Функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет на каж­дом из ин­тер­ва­лов 

По­ка­жем это:

Рас­смот­рим про­ме­жу­ток  дли­ной в пе­ри­од. Функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет от  до  

Дей­стви­тель­но, если мы возь­мем две точки из этого про­ме­жут­ка, такие, что то  боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (рис. 6).

На каж­дом из от­дель­но взя­тых участ­ков дли­ной в пе­ри­од функ­ция также мо­но­тон­но убы­ва­ет.

8) Функ­ция не имеет ни наи­боль­ше­го, ни наи­мень­ше­го зна­че­ния.

 5. Вывод, заключение

Мы изу­чи­ли функ­цию  её гра­фик и свой­ства. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funktsiya-y-stgx-ee-svoystva-i-grafik

http://www.youtube.com/watch?v=-i3CbcZC6kI

http://5klass.net/datas/algebra/Osnovnye-trigonometricheskie-funktsii/0022-022-Svojstva-funktsii-y-tg-x.jpg

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://v.5klass.net/zip/2418f24263056cb69cc9115af959108a.zip

http://chaulitasjo.science/pic-zadacha.uanet.biz/uploads/61/76/6176c60983745d17f71a3337ee5c8100/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B7%D0%BB%D1%8F%D0%BA-%D0%90.%D0%93.-%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%92.%D0%91.-%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%95.%D0%9C.-%D0%AF%D0%BA%D0%B8%D1%80-%D0%9C.%D0%A1.-%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F.-%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BA-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D1%83.-8-11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-1998.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

Файлы