10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.

Комментарии преподавателя

 Числовая окружность

Мы рас­смат­ри­ва­ем чис­ло­вую окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат,  и на­ча­лом от­сче­та в точке , как по­ка­за­но на ри­сун­ке 1.

Числовая окружность

Рис. 1Чис­ло­вая окруж­ность

Каж­до­му дей­стви­тель­но­му числу  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка  на этой окруж­но­сти ( рис. 1).

Как по­лу­ча­ет­ся эта точка ?

От­кла­ды­ва­ем дугу , рав­ную по мо­ду­лю , про­тив ча­со­вой стрел­ки (если ) и по ча­со­вой стрел­ке (если ). Итак, точка  по­лу­че­на.

Каж­дая точка  имеет един­ствен­ную пару де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат: абс­цис­су  и ор­ди­на­ту (рис. 1). Имеем дей­стви­тель­ное число , по нему на­хо­дим един­ствен­ную точку на окруж­но­сти , а эта един­ствен­ная точка на окруж­но­сти имеет един­ствен­ную пару де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат .

Таким об­ра­зом, каж­до­му дей­стви­тель­но­му числу  со­по­став­ля­ет­ся два числа  и . Имеем функ­ции  и .

Далее этим функ­ци­ям будут даны спе­ци­аль­ные на­зва­ния  и . Закон, по ко­то­ро­му каж­до­му  со­по­став­ля­ет­ся пара чисел  и предъ­яв­лен. Он удо­вле­тво­ря­ет един­ствен­но­сти, а зна­чит, вве­де­ние двух функ­ций обос­но­ван­но. С каж­дой функ­ци­ей свя­за­но две ос­нов­ные за­да­чи.

 Прямая задача

По за­дан­но­му  найти зна­че­ние функ­ции  и .

 Обратная задача

По за­дан­но­му зна­че­нию за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной  или  найти все со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния ар­гу­мен­та . То есть найти мно­же­ство всех зна­че­ний ар­гу­мен­та, при ко­то­рых за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная до­сти­га­ет за­дан­но­го зна­че­ния. Об­рат­ная за­да­ча имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний.

 Решение вида t+2πn;

Чис­лам со­от­вет­ству­ет одна и та же един­ствен­ная точка  на окруж­но­сти, то есть .

По­че­му же точ­кам  и  со­от­вет­ству­ет одна и та же точка  на окруж­но­сти?

По­то­му, что  – длина еди­нич­ной окруж­но­сти. Ведь длина окруж­но­сти , так как . Сде­лав пол­ный обо­рот, из точки  мы снова по­па­да­ем в точку . Число далее будет на­зы­вать­ся наи­мень­шим по­ло­жи­тель­ным пе­ри­о­дом функ­ции  и .

Рас­смот­рим еще один при­мер. Пусть точка  со­от­вет­ству­ет на ци­фер­бла­те числу 1 и ча­со­вая стрел­ка ука­за­ла на эту точку числа , то есть на 1, один час. Но если мы на­хо­дим­ся в ком­на­те без окон, то мы не смо­жем опре­де­лить, что это, час дня или час ночи. Этот при­мер ил­лю­стри­ру­ет неод­но­знач­ность ре­ше­ния об­рат­ной за­да­чи.

За­да­ча 1.

Дано дей­стви­тель­ное .

Найти: место рас­по­ло­же­ния точки  и ее де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты  и .

Первый способ нахождения точки М

Рис. 2. Пер­вый спо­соб на­хож­де­ния точки 

Ре­ше­ние

Точку  можно найти несколь­ки­ми спо­со­ба­ми.

 Первый способ нахождения точки M

Дугу  рав­ную  раз­де­лим на 3 рав­ные части (рис. 2). Каж­дая часть – это . Зна­чит, точка  имеет ко­ор­ди­на­ту , так как .

 Второй способ нахождения точки M

Можно ис­поль­зо­вать фор­му­лу длины окруж­но­сти: . Стало быть, от­ло­жим угол  и по­лу­чим точку .

Итак, рас­по­ло­же­ние точки  най­де­но двумя спо­со­ба­ми.

Рис. 3.На­хож­де­ние де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат точки 

Най­дем де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты  и . Эти ко­ор­ди­на­ты можно найти из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка . В нем из­вест­на ги­по­те­ну­за , из­ве­стен ост­рый угол  (рис. 3). Зна­чит, .

Ответ:;.

За­ме­ча­ние: точка  на­хо­дит­ся в пер­вой чет­вер­ти, ее де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты по­ло­жи­тель­ны и сов­па­да­ют с дли­на­ми ка­те­тов. Зная ко­ор­ди­на­ты точки , неслож­но найти ко­ор­ди­на­ты сим­мет­рич­ных точек от­но­си­тель­но осей и от­но­си­тель­но цен­тра.

 Задача-следствие

За­да­ча 2.

Дана точка  ;.

Найти: ко­ор­ди­на­ты точек , сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но осей ко­ор­ди­нат и точке .

Ре­ше­ние:

Будет оче­вид­ным, если мы каж­дую дугу раз­де­лим на 3 рав­ные части, каж­дая часть имеет длину , учтем сим­мет­рию и в ре­зуль­та­те по­лу­чим ответ.

Для точки (рис. 4): ;.

Для точки (рис. 4): .

Для точки (рис. 4): ;.

 

Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра

Рис. 4.Ко­ор­ди­на­ты сим­мет­рич­ных точек от­но­си­тель­но осей и от­но­си­тель­но цен­тра

За­ме­ча­ние

Кри­во­ли­ней­ных ко­ор­ди­нат бес­чис­лен­ное мно­же­ство. На­при­мер, точка . Ко­ор­ди­на­та точки ;;;

 Обратная задача

Дано зна­че­ние абс­цис­сы .

Найти мно­же­ство зна­че­ний ар­гу­мен­та.

Мно­же­ство зна­че­ний всех . А имен­но, ре­шить урав­не­ние . Чтобы ре­шить это урав­не­ние, нужно вспом­нить, каким об­ра­зом по за­дан­но­му числу  мы по­лу­ча­ли точку  и ее де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты. А имен­но, мы от­кла­ды­ва­ли дугу, от­ме­ча­ли точку на окруж­но­сти. Затем опус­ка­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры и по­лу­ча­ли де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты.

Здесь про­цесс вы­пол­ня­ет­ся в об­рат­ном на­прав­ле­нии. Из точки (рис. 5) в ко­ор­ди­на­ты  вос­ста­нав­ли­ва­ем пер­пен­ди­ку­ляр к оси  и по­лу­чим две точки  и  на еди­нич­ной окруж­но­сти. Это един­ствен­ная пара точек на окруж­но­сти с за­дан­ной абс­цис­сой . Те­перь нужно опре­де­лить длину дуги (рис. 5). Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Ги­по­те­ну­за – 1, катет – .

 Построение точки М и определение ее декартовых координат

Рис. 5. По­стро­е­ние точки  и опре­де­ле­ние ее де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат

Зна­чит, . От­сю­да . И со­от­вет­ству­ю­щая дуга , зна­чит, пер­вая кри­во­ли­ней­ная ко­ор­ди­на­та точки , а точки .Все ко­ор­ди­на­ты точки , а все ко­ор­ди­на­ты точки (рис. 5).

Ответ:

 Задача на нахождение декартовых координат

Дано: 

Найти: де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты точки 

Ре­ше­ние:

Точка Р на окружности

Рис. 6.Точка  на окруж­но­сти

Чис­лам  и  со­от­вет­ству­ет одна и та же точка  на окруж­но­сти. Точка  – се­ре­ди­на дуги  (рис. 6). Де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты ее най­дем из , в нем ги­по­те­ну­за – 1. Из­вест­но, что .

Ответ: 

 

Вывод

Мы сфор­му­ли­ро­ва­ли и рас­смот­ре­ли ос­нов­ные за­да­чи на чис­ло­вую окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/reshenie-zadach-po-teme-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti

http://www.youtube.com/watch?v=f0qCF5R_KWw

http://www.youtube.com/watch?v=MfEO130lL7o

http://www.youtube.com/watch?v=k6UPDd--yGo

http://school.xvatit.com/index.php?title=3._Числовая_окружность_на_координатной_плоскости

http://raal100.narod.ru/index/0-287

http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/95241/73920e3bcd39f610332de73e0dd43594.pptx

http://chaulitasjo.science/pic-zadacha.uanet.biz/uploads/61/76/6176c60983745d17f71a3337ee5c8100/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B7%D0%BB%D1%8F%D0%BA-%D0%90.%D0%93.-%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%92.%D0%91.-%D0%A0%D0%B0%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%95.%D0%9C.-%D0%AF%D0%BA%D0%B8%D1%80-%D0%9C.%D0%A1.-%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F.-%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%BA-%D0%BA-%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D1%83.-8-11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-1998.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

Файлы