10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.

Комментарии преподавателя

Вве­де­ние (длина дуги окруж­но­сти)

 1. Тема урока, введение (длина дуги окружности)

Наша бли­жай­шая цель – вве­сти три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции

 2. Повторение: функция, основные сведения о ней

Вспом­ним, что такое функ­ция.

Опре­де­ле­ние: Функ­ци­ей  на­зы­ва­ет­ся закон со­от­вет­ствия, ко­то­рый каж­до­му эле­мен­ту  ста­вит в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент 

 чис­ло­вые мно­же­ства;

 дей­стви­тель­ные числа.

Мно­же­ство  на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции или об­ла­стью до­пу­сти­мых зна­че­ний.

Мно­же­ство  на­зы­ва­ет­ся мно­же­ством зна­че­ний функ­ции.

 неза­ви­си­мый ар­гу­мент;

 за­ви­си­мая функ­ция.

Един­ствен­ное тре­бо­ва­ние к за­ко­ну со­от­вет­ствия – од­но­знач­ность от  Каж­до­му  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние 

На­при­мер, уче­ник вышел из дома и на­пра­вил­ся в школу. Обо­зна­чим за  время в пути,  рас­сто­я­ние от дома до школы (рис. 1).

В каж­дый мо­мент вре­ме­ни он на­хо­дит­ся толь­ко на одном рас­сто­я­нии от дома. Уче­ник не может на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии 3 км и 5 км от дома од­но­вре­мен­но.

По­это­му мно­гие фи­зи­че­ские про­цес­сы можно опи­сать функ­ци­ей, но необ­хо­ди­мо со­блю­дать од­но­знач­ность от ар­гу­мен­та к функ­ции: каж­до­му зна­че­нию ар­гу­мен­та долж­но со­от­вет­ство­вать толь­ко одно зна­че­ние функ­ции.

Зна­че­ния ар­гу­мен­та мы от­кла­ды­ва­ем на оси x, для три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций – на чис­ло­вой окруж­но­сти.

При­мер 1. Яв­ля­ют­ся ли гра­фи­ки на ри­сун­ках 2, 3, 4 гра­фи­ка­ми функ­ций?

Ре­ше­ние.

Гра­фик на рис. 2 не яв­ля­ет­ся гра­фи­ком функ­ции, т.к. од­но­му зна­че­нию x со­от­вет­ству­ют два зна­че­ния y. Это гра­фик урав­не­ния окруж­но­сти  Гра­фи­ки 3 и 4 яв­ля­ют­ся гра­фи­ка­ми функ­ций  со­от­вет­ствен­но.

Мы вспом­ни­ли, что такое функ­ция и ос­нов­ные све­де­ния о ней, а также то, что, как пра­ви­ло, в функ­ци­ях ар­гу­мент от­кла­ды­ва­ют на оси x. Рас­смот­рим ось x по­дроб­нее.

 3. Числовая ось

Любая пря­мая ста­но­вит­ся чис­ло­вой осью (осью ко­ор­ди­нат) (рис. 5), если вы­пол­ня­ют­ся три усло­вия:

1. От­ме­че­на точка на­ча­ла ко­ор­ди­нат.

2. Есть мас­штаб.

3. Есть на­прав­ле­ние.

Чтобы вве­сти три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции, нам при­дет­ся де­лать по­стро­е­ния на чис­ло­вой окруж­но­сти, по­это­му нужно уметь опре­де­лять длину окруж­но­сти, длину дуги окруж­но­сти, длину окруж­но­сти по диа­мет­ру и со­от­вет­ству­ю­щие углы.

 4. Окружность, круг и его части

Рас­смот­рим окруж­ность, круг и их части.

Окруж­но­стью на­зы­ва­ет­ся мно­же­ство всех точек плос­ко­сти, ко­то­рые рав­но­уда­ле­ны от одной точки – цен­тра. Клю­че­вое слово – «всех» (рис. 6).

Угол в один ра­ди­ан – это такой цен­траль­ный угол, длина дуги ко­то­ро­го равна ра­ди­у­су окруж­но­сти (рис. 7).

В окруж­но­сти  А сколь­ко ра­ди­ан? (рис. 8).

Фор­му­ла длины окруж­но­сти  Зна­чит, в одну окруж­ность укла­ды­ва­ет­ся  ра­ди­у­сов. От­сю­да

По по­лу­чен­ной фор­му­ле можно вы­чис­лить ра­ди­ан­ные ве­ли­чи­ны ос­нов­ных углов, на­при­мер 

А сколь­ко гра­ду­сов в одном ра­ди­ане?

Сколь­ко ра­ди­ан в одном гра­ду­се?

Угол в 1 ра­ди­ан боль­ше, чем угол в , или мень­ше? Ответ даст срав­не­ние хорды дли­ной R, со­от­вет­ству­ю­щей углу в  и дуги дли­ной R, со­от­вет­ству­ю­щей углу в 1 рад.

.

Цен­траль­но­му углу АОВ со­от­вет­ству­ет кру­го­вой сек­тор АОВ и дуга АВ. Вспом­ним, как вы­чис­лить пло­щадь кру­го­во­го сек­то­ра и длину дуги окруж­но­сти (рис. 9).

При изу­че­нии три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций важно уметь от­кла­ды­вать дуги на окруж­но­сти.

В три­го­но­мет­рии ра­ди­ус чис­ло­вой окруж­но­сти равен 1, по­это­му 

Уме­ние вы­чис­лить длину дуги окруж­но­сти по­мо­жет нам вы­чис­лять цен­траль­ный угол и на­о­бо­рот.

 5. Примеры Найти длину окружности, длину дуги окружности, соответствующей углу

При­мер 2. Дана окруж­ность ра­ди­у­са . Найти:

1) Длину окруж­но­сти.

2) Длину  окруж­но­сти.

3) Длину дуги окруж­но­сти, со­от­вет­ству­ю­щей цен­траль­но­му углу в  рад.

Ре­ше­ние (рис. 10).

            

1) 

2) 

3) 

При­мер 3. Дана окруж­ность ра­ди­у­са  Каж­дая чет­верть раз­де­ле­на по­по­лам (рис. 11). Найти длины дуг окруж­но­сти

1) 

2) 

3)  

Ре­ше­ние.

Длина каж­дой чет­вер­ти равна  Зна­чит, длина каж­дой из дуг окруж­но­сти  равна  Длины ис­ко­мых дуг равны:

1) 

2) 

3) 

 6. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли чис­ло­вую окруж­ность и круг, их важ­ней­шие части, вы­ве­ли связь между ра­ди­а­ном и дли­ной окруж­но­сти, на­учи­лись на­хо­дить пло­щадь сек­то­ра, длину дуги окруж­но­сти, длина окруж­но­сти по диа­мет­ру и ре­шать со­от­вет­ству­ю­щие за­да­чи. Ре­ко­мен­ду­ет­ся ряд задач ре­шить са­мо­сто­я­тель­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/vvedenie-dlina-dugi-okruzhnosti?seconds=0&chapter_id=44

http://www.youtube.com/watch?v=BLKCGZltKCs

http://www.youtube.com/watch?v=8aUlWR5zNis

http://mathematics-tests.com/10-klass-chislovaya-okruzhnost

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/16/15314/img1.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/16/15314/img5.jpg

http://shakwan.ru/wp-content/uploads/2015/09/kak-uznat-dlinu-okrugnosti-1.jpg

 

Файлы