10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.

10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.

Единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности ...

Комментарии преподавателя

 1. Тема урока, введение

Для  любой функ­ции неза­ви­си­мый ар­гу­мент от­кла­ды­ва­ет­ся либо на чис­ло­вой пря­мой, либо на окруж­но­сти. Оха­рак­те­ри­зу­ем и чис­ло­вую пря­мую, и чис­ло­вую окруж­ность.

 2. Числовая прямая

Пря­мая ста­но­вит­ся чис­ло­вой (ко­ор­ди­нат­ной) пря­мой, если от­ме­че­но на­ча­ло ко­ор­ди­нат, вы­бра­ны на­прав­ле­ние и мас­штаб (рис. 1).

Чис­ло­вая пря­мая уста­нав­ли­ва­ет вза­им­но-од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между всеми точ­ка­ми пря­мой и всеми дей­стви­тель­ны­ми чис­ла­ми.

На­при­мер, берем число  от­кла­ды­ва­ем на ко­ор­ди­нат­ной оси, по­лу­ча­ем точку  Возь­мем число  от­кла­ды­ва­ем на оси, по­лу­ча­ем точку  (рис. 2).

И на­о­бо­рот, если мы взяли любую точку  на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, то най­дет­ся един­ствен­ное со­от­вет­ству­ю­щее ей дей­стви­тель­ное число (рис. 2).

К та­ко­му со­от­вет­ствию люди при­шли не сразу. Чтобы по­нять это, вспом­ним ос­нов­ные чис­ло­вые мно­же­ства.

 3. Числовые множества

Сна­ча­ла ввели мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел 

Затем мно­же­ство целых чисел 

Мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных чисел 

Пред­по­ла­га­лось, что этих мно­жеств будет до­ста­точ­но, и су­ще­ству­ет вза­им­но-од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между всеми ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми и точ­ка­ми пря­мой. Но ока­за­лось, что на чис­ло­вой пря­мой есть бес­чис­лен­ное мно­же­ство точек, ко­то­рые нель­зя опи­сать чис­ла­ми вида 

При­мер – ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 1 и 1. Она равна  (рис. 3).

Най­дет­ся ли среди мно­же­ства ра­ци­о­наль­ных чисел число, в точ­но­сти рав­ное  Нет, не най­дет­ся. До­ка­жем этот факт.

До­ка­жем ме­то­дом от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что су­ще­ству­ет дробь, рав­ная т.е. 

Тогда  Воз­ве­дем обе части в квад­рат,   Оче­вид­но, что пра­вая часть ра­вен­ства де­лит­ся на 2, . Зна­чит и  Тогда  Но тогда и  А зна­чит,  Тогда по­лу­ча­ет­ся, что дробь  со­кра­ти­мая. Это про­ти­во­ре­чит усло­вию, зна­чит 

Число  ир­ра­ци­о­наль­ное. Мно­же­ство ра­ци­о­наль­ных и ир­ра­ци­о­наль­ных чисел об­ра­зу­ют мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел  Если мы возь­мем любую точку на пря­мой, ей будет со­от­вет­ство­вать ка­кое-ли­бо дей­стви­тель­ное число. И если мы возь­мем любое дей­стви­тель­ное число, ему будет со­от­вет­ство­вать един­ствен­ная точка на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой.

 4. Числовая окружность

Уточ­ним, что такое чис­ло­вая окруж­ность и ка­ко­вы вза­и­мо­от­но­ше­ния между мно­же­ством точек окруж­но­сти и мно­же­ством дей­стви­тель­ных чисел.

На­ча­ло от­сче­та – точка A. На­прав­ле­ние от­сче­та – про­тив ча­со­вой стрел­ки – по­ло­жи­тель­ное, по ча­со­вой стрел­ке – от­ри­ца­тель­ное.  Мас­штаб – длина окруж­но­сти  (рис. 4).

Вводя эти три по­ло­же­ния, мы имеем чис­ло­вую окруж­ность. Ука­жем, каким об­ра­зом каж­до­му числу  по­ста­вить в со­от­вет­ствие точку на окруж­но­сти и на­о­бо­рот.

Задав число  по­лу­ча­ем точку на окруж­но­сти  

 (рис. 4).

Каж­до­му дей­стви­тель­но­му числу со­от­вет­ству­ет точка на окруж­но­сти. А на­о­бо­рот?

Точка  со­от­вет­ству­ет числу . А если взять числа  Все эти числа своим об­ра­зом на окруж­но­сти имеют толь­ко одну точку 

На­при­мер,  со­от­вет­ству­ет точке B (рис. 4).

Возь­мем все числа  Все они со­от­вет­ству­ют точке B. Нет вза­им­но-од­но­знач­но­го со­от­вет­ствия между всеми дей­стви­тель­ны­ми чис­ла­ми и точ­ка­ми окруж­но­сти.

Если есть фик­си­ро­ван­ное число  то ему со­от­вет­ству­ет толь­ко одна точка окруж­но­сти

Если есть точка окруж­но­сти, то ей со­от­вет­ству­ет мно­же­ство чисел

В от­ли­чии от пря­мой, ко­ор­ди­нат­ная окруж­ность не об­ла­да­ет вза­им­но-од­но­знач­ным со­от­вет­стви­ем между точ­ка­ми и чис­ла­ми. Каж­до­му числу со­от­вет­ству­ет толь­ко одна точка, но каж­дой точке со­от­вет­ству­ет бес­чис­лен­ное мно­же­ство чисел, и мы можем их за­пи­сать.

 5. Основные точки окружности

Рас­смот­рим ос­нов­ные точки на окруж­но­сти.

За­да­но число  Найти, какой точке на окруж­но­сти оно со­от­вет­ству­ет.

Раз­де­лив дугу  по­по­лам, по­лу­ча­ем точку  (рис. 5).

Об­рат­ная за­да­ча – дана точка  се­ре­ди­на дуги  Найти все дей­стви­тель­ные числа, ко­то­рые ей со­от­вет­ству­ют.

От­ме­тим на чис­ло­вой окруж­но­сти все дуги, крат­ные  (рис. 6).

Важны также дуги, крат­ные 

Дано число  Нужно найти со­от­вет­ству­ю­щую точку.

Об­рат­ная за­да­ча – дана точка, нужно найти каким чис­лам она со­от­вет­ству­ет.

 (рис. 7). 

Мы рас­смот­ре­ли две стан­дарт­ные за­да­чи на двух важ­ней­ших точ­ках.

 6. Задачи

При­мер 1.

a) Найти на чис­ло­вой окруж­но­сти точку с ко­ор­ди­на­той 

Ре­ше­ние:

От­кла­ды­ва­ем от точки Aэто два целых обо­ро­та и еще по­ло­ви­на, и  По­лу­ча­ем точку – это се­ре­ди­на тре­тьей чет­вер­ти (рис. 8).

Ответ. Точка M – се­ре­ди­на тре­тьей чет­вер­ти.

b) Найти на чис­ло­вой окруж­но­сти точку с ко­ор­ди­на­той 

Ре­ше­ние:

От­кла­ды­ва­ем от точки A пол­ный обо­рот и еще  по­лу­ча­ем точку N (рис. 9).

Ответ: Точка N на­хо­дит­ся в пер­вой чет­вер­ти.

 7. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли чис­ло­вую пря­мую и чис­ло­вую окруж­ность, вспом­ни­ли их осо­бен­но­сти. Осо­бен­но­стью чис­ло­вой пря­мой яв­ля­ет­ся вза­им­но-од­но­знач­ное со­от­вет­ствие между точ­ка­ми этой пря­мой и мно­же­ством дей­стви­тель­ных чисел. Та­ко­го вза­им­но-од­но­знач­но­го со­от­вет­ствия нет на окруж­но­сти. Каж­до­му дей­стви­тель­но­му числу на окруж­но­сти со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка, но каж­дой точке чис­ло­вой окруж­но­сти со­от­вет­ству­ет бес­чис­лен­ное мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел.

 повторение

Ранее мы изу­чи­ли чис­ло­вую окруж­ность и вы­яс­ни­ли её свой­ства (рис. 1).

Рис. 1

Каж­до­му дей­стви­тель­но­му числу  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка  на окруж­но­сти.

Каж­дой точке  на чис­ло­вой окруж­но­сти со­от­вет­ству­ет не толь­ко число  но и все числа вида 

 

 8.Числовая окружность в координатной плоскости

По­ме­стим окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ную плос­кость. По преж­не­му, каж­до­му числу со­от­вет­ству­ет точка на окруж­но­сти. Те­перь этой точке на окруж­но­сти со­от­вет­ству­ют две ко­ор­ди­на­ты, как и любой точке ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти.

(рис. 2).

Рис. 2

Наша за­да­ча – по дан­но­му числу  найти не толь­ко точку, но и её ко­ор­ди­на­ты, и на­о­бо­рот, по ко­ор­ди­на­там найти одно или несколь­ко со­от­вет­ству­ю­щих чисел.

 9. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны 

При­мер 1.Дана точка  – се­ре­ди­на дуги  Точке  со­от­вет­ству­ют числа вида 

Найти ко­ор­ди­на­ты точки  (рис. 3).

Рис. 3

Ре­ше­ние:

Ко­ор­ди­на­ты можно найти двумя раз­ны­ми спо­со­ба­ми, рас­смот­рим их по оче­ре­ди.

1. Точка  лежит на окруж­но­сти, R=1, зна­чит, она удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию окруж­но­сти 

 по усло­вию. Мы пом­ним, что ве­ли­чи­на цен­траль­но­го угла чис­лен­но равна длине дуги в ра­ди­а­нах, зна­чит, угол  Это зна­чит также, что пря­мая  делит первую чет­верть ровно по­по­лам, зна­чит, это пря­мая 

Точка  лежит на пря­мой  по­это­му удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию этой пря­мой.

Со­ста­вим си­сте­му из двух урав­не­ний.

Решив си­сте­му, по­лу­чим ис­ко­мые ко­ор­ди­на­ты.

2. Рас­смот­рим  пря­мо­уголь­ный (рис. 4).

Рис. 4

Итак, мы за­да­ли число  нашли точку  и её ко­ор­ди­на­ты. Опре­де­лим также ко­ор­ди­на­ты сим­мет­рич­ных ей точек (рис. 5).

Рис. 5

 10. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны 

Сле­ду­ю­щая за­да­ча – таким же об­ра­зом опре­де­лить ко­ор­ди­на­ты точек, крат­ных 

Окруж­ность ра­ди­у­са R=1 по­ме­ще­на в ко­ор­ди­нат­ную плос­кость,  Найти точку на окруж­но­сти и её ко­ор­ди­на­ты (рис. 6).

Рис. 6

Ре­ше­ние:

Рас­смот­рим  – пря­мо­уголь­ный.

 т. е. угол 

Най­дем ко­ор­ди­на­ты сим­мет­рич­ных точек (рис. 7).

Рис. 7

 

Мы за­да­ли число  нашли точку на окруж­но­сти, эта точка един­ствен­ная, и нашли её ко­ор­ди­на­ты.

 11. Решение задач

Са­мо­сто­я­тель­но ре­ко­мен­ду­ет­ся найти ко­ор­ди­на­ты точки, со­от­вет­ству­ю­щей числу 

 

При­мер 1. Дана точка  Найти её пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты.

Ре­ше­ние:

 

Точка се­ре­ди­на тре­тьей чет­вер­ти (рис. 8).

Рис. 8

 12. Вывод, заключение

Мы по­ме­сти­ли чис­ло­вую окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ную плос­кость, на­учи­лись на­хо­дить по числу точку на окруж­но­сти и её ко­ор­ди­на­ты. Эта тех­ни­ка лежит в ос­но­ве опре­де­ле­ния си­ну­са и ко­си­ну­са, ко­то­рые будут рас­смот­ре­ны далее.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-2

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoy-ploskosti

https://www.youtube.com/watch?v=NTqNXLwAaKo

https://www.youtube.com/watch?v=k6UPDd--yGo

https://www.youtube.com/watch?v=8aUlWR5zNis

http://mathematics-tests.com/10-klass-chislovaya-okruzhnost

http://www.kmrz.ru/catimg/40/400239.jpg

http://shkolnie.ru/pars_docs/refs/18/17881/17881_html_m73662372.jpg

 

 

Файлы