10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
Комментарии преподавателя
Введение (длина дуги окружности)
1. Тема урока, введение (длина дуги окружности)
Наша ближайшая цель – ввести тригонометрические функции
2. Повторение: функция, основные сведения о ней
Вспомним, что такое функция.
Определение: Функцией 
называется закон соответствия, который каждому элементу 
ставит в соответствие единственный элемент 
числовые множества;
действительные числа.
Множество 
называется областью определения функции или областью допустимых значений.
Множество 
называется множеством значений функции.
независимый аргумент;
зависимая функция.
Единственное требование к закону соответствия – однозначность от 
Каждому 
соответствует единственное значение
Например, ученик вышел из дома и направился в школу. Обозначим за время в пути, расстояние от дома до школы (рис. 1).
В каждый момент времени он находится только на одном расстоянии от дома. Ученик не может находиться на расстоянии 3 км и 5 км от дома одновременно.
Поэтому многие физические процессы можно описать функцией, но необходимо соблюдать однозначность от аргумента к функции: каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение функции.
Значения аргумента мы откладываем на оси x, для тригонометрических функций – на числовой окружности.
Пример 1. Являются ли графики на рисунках 2, 3, 4 графиками функций?
Решение.
График на рис. 2 не является графиком функции, т.к. одному значению x соответствуют два значения y. Это график уравнения окружности 
Графики 3 и 4 являются графиками функций 
соответственно.
Мы вспомнили, что такое функция и основные сведения о ней, а также то, что, как правило, в функциях аргумент откладывают на оси x. Рассмотрим ось x подробнее.
3. Числовая ось
Любая прямая становится числовой осью (осью координат) (рис. 5), если выполняются три условия:
1. Отмечена точка начала координат.
2. Есть масштаб.
3. Есть направление.
Чтобы ввести тригонометрические функции, нам придется делать построения на числовой окружности, поэтому нужно уметь определять длину окружности, длину дуги окружности, длину окружности по диаметру и соответствующие углы.
4. Окружность, круг и его части
Рассмотрим окружность, круг и их части.
Окружностью называется множество всех точек плоскости, которые равноудалены от одной точки – центра. Ключевое слово – «всех» (рис. 6).
Угол в один радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (рис. 7).
В окружности 
А сколько радиан? (рис. 8).
Формула длины окружности 
Значит, в одну окружность укладывается 
радиусов. Отсюда
По полученной формуле можно вычислить радианные величины основных углов, например 
А сколько градусов в одном радиане?
Сколько радиан в одном градусе?
Угол в 1 радиан больше, чем угол в 
, или меньше? Ответ даст сравнение хорды длиной R, соответствующей углу в и дуги длиной R, соответствующей углу в 1 рад.
.
Центральному углу АОВ соответствует круговой сектор АОВ и дуга АВ. Вспомним, как вычислить площадь кругового сектора и длину дуги окружности (рис. 9).
При изучении тригонометрических функций важно уметь откладывать дуги на окружности.
В тригонометрии радиус числовой окружности равен 1, поэтому 
Умение вычислить длину дуги окружности поможет нам вычислять центральный угол и наоборот.
5. Примеры Найти длину окружности, длину дуги окружности, соответствующей углу
Пример 2. Дана окружность радиуса 
. Найти:
1) Длину окружности.
2) Длину 
окружности.
3) Длину дуги окружности, соответствующей центральному углу в 
рад.
Решение (рис. 10).
1) 
2) 
3) 
Пример 3. Дана окружность радиуса 
Каждая четверть разделена пополам (рис. 11). Найти длины дуг окружности
1) 
2) 
3) 
Решение.
Длина каждой четверти равна 
Значит, длина каждой из дуг окружности 
равна 
Длины искомых дуг равны:
1) 
2) 
3) 
6. Вывод, заключение
Мы рассмотрели числовую окружность и круг, их важнейшие части, вывели связь между радианом и длиной окружности, научились находить площадь сектора, длину дуги окружности, длина окружности по диаметру и решать соответствующие задачи. Рекомендуется ряд задач решить самостоятельно.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/vvedenie-dlina-dugi-okruzhnosti?seconds=0&chapter_id=44
http://www.youtube.com/watch?v=BLKCGZltKCs
http://www.youtube.com/watch?v=8aUlWR5zNis
http://mathematics-tests.com/10-klass-chislovaya-okruzhnost
http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/16/15314/img1.jpg
http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/16/15314/img5.jpg
http://shakwan.ru/wp-content/uploads/2015/09/kak-uznat-dlinu-okrugnosti-1.jpg