7 класс. Алгебра. Линейная функция.

7 класс. Алгебра. Линейная функция.

График линейной функции у = kх + m проходит через первый, второй и третий координатные углы. Какие знаки имеют коэффициенты k и m?

Комментарии преподавателя

 

На данном уроке мы познакомимся с понятием линейной функции, выведем ее в общем виде и рассмотрим частные случаи. Введем новую терминологию, рассмотрим типовые задачи и элементарные примеры.

 

В преды­ду­щих уро­ках мы изу­ча­ли ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми, это урав­не­ние вида . Мы вы­яс­ни­ли, что гра­фи­ком дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся пря­мая. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 1:

 (1)

Пе­ре­пи­шем его таким об­ра­зом, чтобы у был в одной части, а все осталь­ное в дру­гой:

Со­кра­тим на 2:

Пе­ре­не­сем у в левую часть, а все осталь­ное в пра­вую:

 (2)

Мы по­лу­чи­ли част­ный слу­чай урав­не­ния 1, в ко­то­ром  стоит обособ­лен­но в левой части, гра­фи­ком обоих вы­ра­же­ний будет одна и та же пря­мая, но за­пись 2 мы будем на­зы­вать ли­ней­ной функ­ци­ей у от х.

По­стро­им гра­фик дан­ной функ­ции, для этого со­ста­вим таб­ли­цу:

х

0

1,5

у

-3

0

 2. Выведение линейной функции и ее параметров в общем случае, введение новых терминов

Опре­де­лим ли­ней­ную функ­цию в общем слу­чае из ли­ней­но­го урав­не­ния с двумя пе­ре­мен­ны­ми:

По­сколь­ку  можем обе части по­де­лить на b:

Вве­дем более удоб­ные обо­зна­че­ния:

По­лу­ча­ем вы­ра­же­ние:

 (3)

Для при­ме­ра №1 

Таким об­ра­зом, пара чисел k и m за­да­ют кон­крет­ную ли­ней­ную функ­цию.

Вве­дем неко­то­рую тер­ми­но­ло­гию. В ли­ней­ной функ­ции пе­ре­мен­ную х на­зы­ва­ют неза­ви­си­мой пе­ре­мен­ной или ар­гу­мен­том функ­ции, мы сами можем вы­би­рать про­из­воль­ное зна­че­ние х и по нему на­хо­дить со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние у.

 на­зы­ва­ют за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной или функ­ци­ей.

Ли­ней­ная функ­ция ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что если за­да­но зна­че­ние х, можно сразу по­лу­чить зна­че­ние у. у – это ли­ней­ная функ­ция от х.

Най­дем для ли­ней­ной функ­ции в общем виде (3) точки пе­ре­се­че­ния с осями. Для всех точек на оси у ха­рак­тер­но то, что их абс­цис­са – ко­ор­ди­на­та х, равна нулю.

;

Точка пе­ре­се­че­ния с осью у: (0, m)

От­сю­да гео­мет­ри­че­ский смысл пе­ре­мен­ной m – это ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой 3 с осью у. Па­ра­метр m од­но­знач­но за­да­ет точку пе­ре­се­че­ния пря­мой 3 с осью ор­ди­нат.

Па­ра­метр  носит на­зва­ние уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент.

Для всех точек на оси х ха­рак­тер­но то, что их ор­ди­на­та равна нулю. Най­дем точку пе­ре­се­че­ния нашей функ­ции с осью х:

Точка пе­ре­се­че­ния с осью х: ()

 3. Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции

При­мер 2:

По­стро­им гра­фи­ки двух ли­ней­ных функ­ций:  (4),  (5)

В функ­ции 4 

В функ­ции 5 

Для по­стро­е­ния гра­фи­ков со­ста­вим таб­ли­цы, в ко­то­рых за­пи­шем точки их пе­ре­се­че­ния с осями ко­ор­ди­нат:

х

0

-3

у

m=3

0

Таб­ли­ца для функ­ции 4;

х

0

3

у

m=3

0

Таб­ли­ца для функ­ции 5;

Итак, из по­стро­е­ния мы видим, что когда  (пря­мая ) угол  между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х ост­рый, а когда  (пря­мая ) угол  между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х тупой.

Кор­нем функ­ции 4 яв­ля­ет­ся число -3, по­то­му что имен­но при этом зна­че­нии х функ­ция об­ра­ща­ет­ся в ноль.

Кор­нем функ­ции 5 яв­ля­ет­ся число 3, так как при дан­ном зна­че­нии х функ­ция об­ра­ща­ет­ся в ноль.

От­ме­тим, что ре­ше­ни­ем сле­ду­ю­щей си­сте­мы:

Яв­ля­ет­ся точка (0; 3).

 4. Решение типовых задач

При­мер 3 – найти k и m:

За­да­но ли­ней­ное урав­не­ние, так как х и у стоят в пер­вой сте­пе­ни, с двумя пе­ре­мен­ны­ми.

Чтобы найти k и m, вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

За­пи­шем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в стан­дарт­ном виде:

От­сю­да оче­вид­но, что , а 

При­мер 4 – найти k и m:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть:

За­пи­шем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в стан­дарт­ном виде:

От­сю­да оче­вид­но, что , а 

Итак, одна из стан­дарт­ных задач – это на­хож­де­ние по за­дан­но­му ли­ней­но­му урав­не­нию па­ра­мет­ров ли­ней­ной функ­ции k и m.

Еще две стан­дарт­ные за­да­чи – по за­дан­но­му зна­че­нию х найти у и на­о­бо­рот, по за­дан­но­му зна­че­нию у найти х. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 5 – найти зна­че­ние у при :

Такую за­да­чу ино­гда на­зы­ва­ют пря­мой за­да­чей.

При­мер 6 – найти зна­че­ние ар­гу­мен­та, если :

Эта за­да­ча на­зы­ва­ет­ся об­рат­ной.

 5. Выводы по уроку

Вывод: в дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли ли­ней­ную функ­цию как в част­ных слу­ча­ях, так и в общем виде, опре­де­ли­ли па­ра­мет­ры ли­ней­ной функ­ции и их зна­че­ние, ввели неко­то­рые новые тер­ми­ны, на­учи­лись ре­шать эле­мен­тар­ные ти­по­вые за­да­чи.

Тема: Ли­ней­ная функ­ция

Урок: Вза­им­ное рас­по­ло­же­ние гра­фи­ков ли­ней­ных функ­ций

 1. Напоминание теоретических положений

На­пом­ним, что ли­ней­ной на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида:

x - неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, ар­гу­мент;

у - за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция;

k и m – неко­то­рые числа, па­ра­мет­ры, од­но­вре­мен­но они не могут быть равны нулю.

Гра­фи­ком ли­ней­ной функ­ции яв­ля­ет­ся пря­мая линия.

Важно по­ни­мать смысл па­ра­мет­ров k и m и на что они вли­я­ют.

 2. Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых

Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 1:

По­стро­им гра­фи­ки дан­ных функ­ций. У каж­дой из них . У пер­вой , у вто­рой , у тре­тьей . На­пом­ним, что па­ра­мет­ры k и m опре­де­ля­ют­ся из стан­дарт­но­го вида ли­ней­но­го урав­не­ния , па­ра­метр  – это ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью у. Кроме того, от­ме­тим, что ко­эф­фи­ци­ент  от­ве­ча­ет за угол на­кло­на пря­мой к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси х, кроме того, если он по­ло­жи­тель­ный, то функ­ция будет воз­рас­тать, а если от­ри­ца­тель­ный – убы­вать. Ко­эф­фи­ци­ент  на­зы­ва­ет­ся уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.

Со­ста­вим таб­ли­цы для по­стро­е­ния гра­фи­ков:

х

0

-0,5

у

1

0

Таб­ли­ца для пер­вой функ­ции;

х

0

1

у

0

2

Таб­ли­ца для вто­рой функ­ции;

х

0

0,5

у

-1

0

Таб­ли­ца для тре­тьей функ­ции;

Оче­вид­но, что все по­стро­ен­ные пря­мые па­рал­лель­ны, по­то­му что их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты оди­на­ко­вы. Функ­ции от­ли­ча­ют­ся толь­ко зна­че­ни­ем m.

Рис. 1.

Сде­ла­ем вывод. Пусть за­да­ны две про­из­воль­ные ли­ней­ные функ­ции:

 и  

Если  но  то за­дан­ные пря­мые па­рал­лель­ны.

Если  и  то за­дан­ные пря­мые сов­па­да­ют.

Изу­че­ние вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния гра­фи­ков ли­ней­ных функ­ций и свойств их па­ра­мет­ров яв­ля­ет­ся ос­но­вой для изу­че­ния си­стем ли­ней­ных урав­не­ний. Мы долж­ны за­пом­нить, что если пря­мые па­рал­лель­ны, то си­сте­ма не будет иметь ре­ше­ний, а если пря­мые сов­па­да­ют – то си­сте­ма будет иметь бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний.

 3. Рассмотрение примера на свойства параметров функции

Рас­смот­рим за­да­чи.

При­мер 2 – опре­де­лить знаки па­ра­мет­ров k и m по за­дан­но­му гра­фи­ку функ­ции:

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в по­ло­жи­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак плюс, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х ост­рый, функ­ция воз­рас­та­ет, зна­чит знак k также плюс.

Рис. 2.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в по­ло­жи­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак плюс, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х тупой, функ­ция убы­ва­ет, зна­чит знак k минус.

Рис. 3.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в от­ри­ца­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак минус, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х ост­рый, функ­ция воз­рас­та­ет, зна­чит знак k плюс.

Рис. 4.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в от­ри­ца­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак минус, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х тупой, функ­ция убы­ва­ет, зна­чит знак k также минус.

Рис. 5.

 4. Рассмотрение случая пересекающихся прямых

Рас­смот­рим слу­чай, когда уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты не равны. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 3 – найти гра­фи­че­ски точку пе­ре­се­че­ния пря­мых:

 

 

Обе функ­ции имеют гра­фик – пря­мую линию.

Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пер­вой функ­ции , вто­рой функ­ции , зна­чит пря­мые не па­рал­лель­ны и не сов­па­да­ют, зна­чит имеют точку пе­ре­се­че­ния, при чем един­ствен­ную.

Со­ста­вим таб­ли­цы для по­стро­е­ния гра­фи­ков:

х

0

1,5

у

-3

0

Таб­ли­ца для пер­вой функ­ции;

х

0

4

у

2

0

Таб­ли­ца для вто­рой функ­ции;

Рис. 6.

Оче­вид­но, что пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке (2; 1)

Про­ве­рим ре­зуль­тат, под­ста­вив по­лу­чен­ные ко­ор­ди­на­ты в каж­дую функ­цию:

 5. Подведение итогов

Под­ве­дем итог. За­да­ны пря­мые:

 и  

Если  но  то за­дан­ные пря­мые па­рал­лель­ны.

Если  и  то за­дан­ные пря­мые сов­па­да­ют.

Если  при любых зна­че­ни­ях m за­дан­ные пря­мые имеют един­ствен­ную точку пе­ре­се­че­ния.

Вывод: в дан­ном уроке мы вспом­ни­ли тео­ре­ти­че­ские по­ло­же­ния от­но­си­тель­но ли­ней­ных функ­ций и свой­ства их ко­эф­фи­ци­ен­тов. Мы рас­смот­ре­ли раз­лич­ные ва­ри­ан­ты вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния гра­фи­ков ли­ней­ных функ­ций и ре­ши­ли несколь­ко ти­по­вых задач.

 

 Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynaya-funktsiya-i-ee-grafik?konspekt&chapter_id=8

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/vzaimnoe-raspolozhenie-grafikov-lineynyh-funktsiy?konspekt&chapter_id=8

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=h6Qhwv7v7KY

Источник теста: http://nashol.com/2014071078823/algebra-7-9-klass-testi-mordkovich-a-g-tulchinskaya-e-e-2008.html

Файлы