7 класс. Алгебра. Линейная функция.

Линейные уравнения с двумя переменными.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Линейные уравнения с двумя переменными.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, дадим его определение и построим график.

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Опредепение

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе – ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

, где a, b, с – числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Построение графика

Пример 1:

; ; ;

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

,

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

х	0	3
у	3	0

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим – возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 – верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 – построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

х	0	-2	2
у	3	0	6

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод:

мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график (более сложные случаи)

Напомним, что линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

Мы научились строить графики подобных уравнений и узнали, что они имеют бесчисленное множество решений – пар чиселх и у, которые на графике отображаются в виде точек.

В предыдущих задачах нам было задано уравнение, но как и все другие – линейное уравнение с двумя переменными это математическая модель некоторой реальной ситуации. Теперь рассмотрим такие задачи, в которых нужно для простейшей задачи составить уравнение – математическую модель, а затем его решить.

Пример 1:

Сумма двух чисел равна четырем. Построить математическую модель, то есть соответствующее линейное уравнение, и его график.

Пусть искомые числа это х и у, сумма их равна четырем:

– линейное уравнение с двумя переменными. Построим график, для этого составим таблицу, для контроля возьмем три точки, а не две:

х	0	4	2
у	4	0	2

Решение задачи сведено в таблицу:

Словесная модель	Сумма двух чисел равна четырем
Алгебраическая модель	,
Геометрическая модель

Следующая группа задач связана с тем, что в одной задаче могут участвовать два линейных уравнения.

Пример 2:

Графически найти точку пересечения прямых и

Обе прямые являются графиками соответствующих уравнений, построим их. Для этого составим таблицы. Для удобства представим уравнение в следующем виде:

х	0	-1
у	1	0

х	0	2
у	4	0

Графически найдена точка пересечения А(1; 2)

Чтобы проверить, что точка А(1; 2) удовлетворяет обоим уравнениям, нужно подставить ее координаты в уравнения:

;

точка А удовлетворяет обоим уравнениям, значит, точка пересечения прямых найдена верно.

Уравнение с параметрами

Следующий тип задач – это задачи с параметрами.

Пример 3:

Найдите значение коэффициента в уравнении , если известно, что решением уравнения является пара чисел (3; 2)

Ранее у нас было задано или мы сами составляли линейное уравнение с известными коэффициентами, в данном случае один из коэффициентов неизвестен, но дано одно из решений уравнения, то есть пара значений х и у, удовлетворяющих уравнению. Чтобы найти параметр подставим данные значения в уравнение:

итак, исходное уравнение имеет вид:

Итак, мы рассмотрели линейное уравнение с двумя неизвестными:

Отметим, что в случае, если , мы получаем частный случай данного уравнения – уравнение с одной переменной:

Аналогично если мы получим линейное уравнение с одной переменной:

Вывод: в данном уроке мы рассмотрели более сложные задачи на линейные уравнения с двумя переменными, в частности текстовые задачи, уравнения с параметрами, задачи на два уравнения. Кроме того мы закрепили знание понятий и терминов.

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik?konspekt&chapter_id=8

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynoe-uravnenie-s-dvumya-peremennymi-i-ego-grafik-bolee-slozhnye-sluchai?konspekt&chapter_id=8

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=8WdpbeZFy_c