7 класс. Алгебра. Линейная функция.

7 класс. Алгебра. Линейная функция.

Комментарии преподавателя

Этот урок посвящён изучению координатной плоскости. Мы рассмотрим, для чего используются координатные оси и координатные плоскости, разберём основные сведения. Также на уроке мы узнаем способ получения координатной плоскости из обычной. А также решим задачи, в которых научимся строить точки по заданным координатам, определять координатные углы и находить уравнения прямых по координатам лежащих на данной прямой точек.

Введение.

Ко­ор­ди­нат­ная ось и ко­ор­ди­нат­ная плос­кость нужны для того, чтобы свя­зать мест­ность, точку про­стран­ства с чис­лом или упо­ря­до­чен­ной парой чисел. Такая связь ис­поль­зу­ет­ся давно. На­при­мер, на до­ро­ге ста­вят ука­за­тель рас­сто­я­ния до ка­ко­го-ли­бо объ­ек­та, ме­сто­рас­по­ло­же­ние ко­то­ро­го ха­рак­те­ри­зу­ет­ся одним чис­лом. Ма­те­ма­ти­ки раз­ра­бо­та­ли мо­дель, удоб­ную для опи­са­ния любой пря­мо­ли­ней­ной до­ро­ги – это ко­ор­ди­нат­ная ось. Чтобы из любой пря­мой по­лу­чить ко­ор­ди­нат­ную ось, необ­хо­ди­мо от­ме­тить на пря­мой на­ча­ло от­счё­та, мас­штаб и на­прав­ле­ние от­счё­та (на пря­мой от­ме­ча­ем точку 0 и точку 1 (см. Рис. 1)). Этим мы до­би­лись вза­и­мо­од­но­знач­но­го со­от­вет­ствия между точ­ка­ми и чис­ла­ми (на­при­мер, числу 3 со­по­став­ля­ет­ся един­ствен­ная точкаA на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, точке B со­по­став­ля­ет­ся един­ствен­ное число -2 – ко­ор­ди­на­та этой точки).

Рис. 1. Ко­ор­ди­нат­ная ось

Ма­те­ма­ти­ка­ми также была раз­ра­бо­та­на мо­дель, ко­то­рая, в част­но­сти, поз­во­ля­ет опи­сать любой зри­тель­ный зал (рас­по­ло­же­ние мест в зале), так как из­вест­но, что в би­ле­те ука­зы­ва­ет­ся номер ряда и номер места, то есть пара чисел, в ко­то­рой но­ме­ра упо­ря­до­че­ны. Такая мо­дель по­лу­чи­ла на­зва­ние ко­ор­ди­нат­ная плос­кость. На дан­ном уроке, тема ко­то­ро­го: «Ко­ор­ди­нат­ная плос­кость. Тер­ми­но­ло­гия», мы рас­смот­рим ко­ор­ди­нат­ную плос­кость с пря­мо­уголь­ной си­сте­мой ко­ор­ди­нат.

Координатная плоскость

Чтобы из обыч­ной плос­ко­сти по­лу­чить ко­ор­ди­нат­ную с пря­мо­уголь­ной си­сте­мой ко­ор­ди­нат, необ­хо­ди­мо про­ве­сти две ко­ор­ди­нат­ные оси, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точ­ках на­ча­ла от­счё­та. Го­ри­зон­таль­ная ось на­зы­ва­ет­ся ось абс­цисс (на­прав­ле­ние от­счё­та – слева на­пра­во), вер­ти­каль­ная – ось ор­ди­нат (на­прав­ле­ние от­счё­та – снизу вверх) (см. Рис. 2).

Любой точке M ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти со­по­став­ля­ют­ся два числа (две ко­ор­ди­на­ты): . Для по­лу­че­ния этих ко­ор­ди­нат необ­хо­ди­мо через точку M про­ве­сти две пря­мые, па­рал­лель­ные ко­ор­ди­нат­ным осям. Одна пря­мая пе­ре­се­чёт ось абс­цисс (ось X) в точке  с ко­ор­ди­на­та­ми , вто­рая пря­мая пе­ре­се­чёт ось ор­ди­нат (ось Y) в точке  с ко­ор­ди­на­та­ми  (см. Рис. 2).

Че­ты­ре пря­мых угла, об­ра­зо­ван­ных ко­ор­ди­нат­ны­ми осями, на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­нат­ны­ми уг­ла­ми.

Рис. 2. Ко­ор­ди­нат­ная плос­кость

Построение точек по заданным координатам.

По­стро­ить точки по за­дан­ным ко­ор­ди­на­там .

Ре­ше­ние

Для по­стро­е­ния точки M необ­хо­ди­мо от­ло­жить еди­ни­цу на оси X и про­ве­сти пер­пен­ди­ку­ляр­ную пря­мую; на оси Y от­кла­ды­ва­ем число 3 и про­во­дим пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси Y пря­мую. На пе­ре­се­че­нии пер­пен­ди­ку­ля­ров по­лу­чим точку M с ко­ор­ди­на­та­ми

Для по­стро­е­ния точки N необ­хо­ди­мо от­ло­жить на оси X число 3 и про­ве­сти пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси X пря­мую; на оси Y от­кла­ды­ва­ем число 1 и про­во­дим пер­пен­ди­ку­ляр­ную оси Y пря­мую. На пе­ре­се­че­нии пер­пен­ди­ку­ля­ров по­лу­чим точку N с ко­ор­ди­на­та­ми  (см. Рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

За­да­ча 2

По зна­кам ко­ор­ди­нат опре­де­лить, в каком ко­ор­ди­нат­ном углу на­хо­дит­ся точка.

а)  при­чём .

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость и обо­зна­чим на ней точку M (см. Рис. 4а).

Рис. 4а. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: точка Mлежит во вто­ром ко­ор­ди­нат­ном углу (ΙΙ).

б)  при­чём 

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость и обо­зна­чим на ней точку N (см. Рис. 4б).

Рис. 4б. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: точка N лежит в тре­тьем ко­ор­ди­нат­ном углу (ΙΙΙ).

в)  при­чём 

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость и обо­зна­чим на ней точку P (см. Рис. 4в).

Ответ: точка P лежит в чет­вёр­том ко­ор­ди­нат­ном углу (ΙV).

Рис. 4в. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

За­да­ча 3

В каких ко­ор­ди­нат­ных углах на­хо­дят­ся точки?

а) С по­ло­жи­тель­ной ор­ди­на­той –  

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость. Так как ор­ди­на­та точки боль­ше нуля, а знак абс­цис­сы не задан, то такая точка может ле­жать в пер­вом (точка M) или вто­ром (точка N) ко­ор­ди­нат­ном углу (см. Рис. 5а).

Рис. 5а. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: Ι, ΙΙ.

б) С от­ри­ца­тель­ной ор­ди­на­той – 

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость. Так как ор­ди­на­та точки мень­ше нуля, а знак абс­цис­сы не задан, то такая точка может ле­жать в тре­тьем (точка M) или чет­вёр­том (точка N) ко­ор­ди­нат­ном углу (см. Рис. 5б).

Ответ: ΙΙΙ, ΙV.

Рис. 5б. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

в) С по­ло­жи­тель­ной абс­цис­сой – .

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость. Так как абс­цис­са точки боль­ше нуля, а знак ор­ди­на­ты не задан, то такая точка может ле­жать в пер­вом (точка M) или чет­вёр­том (точка N) ко­ор­ди­нат­ном углу (см. Рис. 5в).

Рис. 5в. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: Ι, ΙV.

г) С от­ри­ца­тель­ной абс­цис­сой – .

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость. Так как абс­цис­са точки мень­ше нуля, а знак ор­ди­на­ты не задан, то такая точка может ле­жать во вто­ром (точка M) или тре­тьем (точка N) ко­ор­ди­нат­ном углу (см. Рис. 5г).

Ответ: ΙΙ, ΙΙΙ.

Рис. 5г. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

За­да­ча 4

По­строй­те точки , опре­де­ли­те, на какой пря­мой они лежат.

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость и обо­зна­чим на ней за­дан­ные точки. У всех этих точек абс­цис­са оди­на­ко­вая и равна 4, сле­до­ва­тель­но, они лежат на одной (вер­ти­каль­ной) пря­мой (см. Рис. 6), урав­не­ние ко­то­рой .

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: все за­дан­ные точки лежат на пря­мой .

За­да­ча 5

По­строй­те точки , опре­де­ли­те, на какой пря­мой они лежат.

Ре­ше­ние

По­стро­им ко­ор­ди­нат­ную плос­кость и обо­зна­чим на ней за­дан­ные точки. У всех этих точек ор­ди­на­та оди­на­ко­вая и равна 3, сле­до­ва­тель­но, они лежат на одной (го­ри­зон­таль­ной) пря­мой (см. Рис. 7), урав­не­ние ко­то­рой .

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: все за­дан­ные точки лежат на пря­мой .

За­да­ча 6

По дан­ным ри­сун­ка 8 на­пи­ши­те урав­не­ния пря­мых и ко­ор­ди­на­ты точек их пе­ре­се­че­ния.

Ре­ше­ние

На ри­сун­ке видим, что абс­цис­са точки M равна 5, а ор­ди­на­та – 4 (). Ана­ло­гич­но на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты дру­гих точек: .

Урав­не­ние пря­мой MK , так как ор­ди­на­та у любых точек этой пря­мой равна 4. Урав­не­ние пря­мой NP , так как ор­ди­на­та у всех точек этой пря­мой равна -3. Урав­не­ние пря­мой MN , так как абс­цис­са у всех точек этой пря­мой равна 5. Урав­не­ние пря­мой KP , так как абс­цис­са у всех точек этой пря­мой равна -3.

Ответ: (MK) (NP);  (MN);  (KP).

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

 Итоги урока

На этом уроке мы узна­ли, что такое ко­ор­ди­нат­ная плос­кость, спо­соб её по­лу­че­ния из обыч­ной плос­ко­сти, а также ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-2-lineynaya-funktsiya/lineynaya-funktsiya-koordinatnaya-ploskost-terminologiya?konspekt&chapter_id=8

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=ZICTR9LdzsU

Файлы