7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

От точки, не лежащей на прямой, ...

Комментарии преподавателя

Ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы и вы­со­ты тре­уголь­ни­ка

 1. Определение медианы треугольника

Опре­де­ле­ние: От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с се­ре­ди­ной про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, на­зы­ва­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка.

         

Рис. 1. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка

А, В, С – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка.

 – се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка. 

  – ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка.

У каж­до­го тре­уголь­ни­ка есть три ме­ди­а­ны. В даль­ней­шем мы до­ка­жем, что все ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. И эта точка об­ла­да­ет за­ме­ча­тель­ны­ми свой­ства­ми и на­зы­ва­ет­ся «цен­тром тя­же­сти» тре­уголь­ни­ка.

 2. Определение биссектрисы треугольника

Опре­де­ле­ние: От­ре­зок бис­сек­три­сы угла тре­уголь­ни­ка, со­еди­ня­ю­щий вер­ши­ну тре­уголь­ни­ка с точ­кой про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны, на­зы­ва­ет­ся бис­сек­три­сой тре­уголь­ни­ка. Стоит за­ме­тить, что бис­сек­три­са угла – это луч, де­ля­щий угол на два рав­ных, а бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка – это от­ре­зок, часть луча, огра­ни­чен­ная сто­ро­ной тре­уголь­ни­ка.

Рис. 2. Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка

C, D, E – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка.

   – бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка.

Три бис­сек­три­сы лю­бо­го тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, ко­то­рая также имеет важ­ное свой­ство.

 3. Определение высоты треугольника

Опре­де­ле­ние: Пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка к пря­мой, со­дер­жа­щей про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, на­зы­ва­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка.

 

Рис. 3. Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

А, В, С – вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка. 

  – вы­со­ты тре­уголь­ни­ка.

По­сколь­ку у тре­уголь­ни­ка три вер­ши­ны, а зна­чит, и три вы­со­ты. Далее мы вы­яс­ним, что все три вы­со­ты пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Но в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке вы­со­ты рас­по­ло­же­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Рис. 4. Вы­со­ты ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный с вер­ши­ны С на пря­мую ВА, это пер­пен­ди­ку­ляр , ко­то­рый яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка.  – это пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный с вер­ши­ны В на пря­мую СА, ко­то­рая со­дер­жит сто­ро­ну АС.  – это вто­рая вы­со­та тре­уголь­ни­ка. – тре­тья вы­со­та тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты или их про­дол­же­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Это будет до­ка­за­но далее.

 4. Решение задач

При­мер 1: Ме­ди­а­на AD тре­уголь­ни­ка АВС про­дол­же­на за сто­ро­ну ВС на от­ре­зок DE, рав­ный AD, и точка Е со­еди­не­на с точ­кой С.

1.  До­ка­жи­те, что ∆АВD = ∆ECD.

2.  Най­ди­те ∠АСЕ, если ∠ACD = , ∠ABD = .

Дано: BD = CD, AD = ED.

До­ка­зать: ∆ABD = ∆ECD.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 1

 

тре­уголь­ник ABD = тре­уголь­ни­ку ECD по пер­во­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .

Найти: ∠АСЕ.

Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 1

Вос­поль­зу­ем­ся ре­зуль­та­та­ми преды­ду­щей за­да­чи, что тре­уголь­ник ABD = тре­уголь­ни­ку ECD. Тре­уголь­ни­ки равны, зна­чит, и равны их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты. ∠ECD =∠ABD = .∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +=.

Ответ: ∠ACE = .

При­мер 2: тре­уголь­ник АВС =  тре­уголь­ни­ку .

До­ка­зать: ме­ди­а­ны ВМ и  равны.

До­ка­за­тель­ство: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

Рис.7. Чер­теж к при­ме­ру 2

1 спо­соб:

От­сю­да сле­ду­ет, что тре­уголь­ник АВМ = тре­уголь­ни­ку . А из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что ВМ = , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

2 спо­соб: сов­ме­ще­ние тре­уголь­ни­ков АВС и . При этом точка В пе­рей­дет в точку , а точка М в точку . Зна­чит, от­рез­ки ВМ и  сов­ме­стят­ся. ВМ = .

Ответ: До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=Hxp_e6OjgxA

http://www.youtube.com/watch?v=fC425SOyUw4

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=mediana_bisektrisa_visota

http://proteacher.ru/2015/01/09/Mediana_bissektrisa_i_vysota_treugolnika_1420794393_62631.ppt

 

Файлы