7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

Комментарии преподавателя

 Определение треугольника и его элементов

Опре­де­ле­ние:  Тре­уголь­ник – это гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра, со­сто­я­щая из трех точек, не ле­жа­щих на одной пря­мой, со­еди­нен­ных от­рез­ка­ми.

                          

Рис. 1. Тре­уголь­ник АВС

На дан­ном ри­сун­ке изоб­ра­жен тре­уголь­ник АВС. Обо­зна­че­ние вы­гля­дит так: .

Точка С не при­над­ле­жит от­рез­ку АВ. Точки А, В, С на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми тре­уголь­ни­ка, а от­рез­ки АВ, АС, ВС на­зы­ва­ют­ся его сто­ро­на­ми. Ло­гич­но, что тре­уголь­ник имеет три угла: ∠А, ∠В, ∠С, или ∠ВАС, ∠АВС, ∠ВСА. В гео­мет­рии при­ня­то, что угол А обо­зна­ча­ет­ся гре­че­ской бук­вой α, а сто­ро­на, ле­жа­щая на­про­тив этого угла, обо­зна­ча­ет­ся а, по­это­му ∠А = α, ВС = а. Ана­ло­гич­но, ∠В = β, АС = b, ∠С = γ, АВ = c.

Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка – это сумма длин всех его сто­рон.

 Равенство треугольников

Вспом­ним, какие фи­гу­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми. Фи­гу­ра F1 и фи­гу­ра F2 на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем.

 

Рис. 2. Рав­ные тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1

Тре­уголь­ни­ки АВС и А1В1С1 яв­ля­ют­ся рав­ны­ми, так как их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. Из этого факта сле­ду­ет, что у рав­ных фигур равны их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты. Таким об­ра­зом, если сто­ро­ны , то и углы .

Как же до­ка­зать ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков? Пер­вый спо­соб – по опре­де­ле­нию. Необ­хо­ди­мо сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем два тре­уголь­ни­ка. Если их эле­мен­ты сов­па­да­ют, тре­уголь­ни­ки равны. Од­на­ко дан­ный про­цесс тру­до­ем­кий. Вто­рой спо­соб – срав­нить части эле­мен­тов, но с га­ран­ти­ей сов­ме­ще­ния всех осталь­ных эле­мен­тов, то есть раз­ра­бо­тать при­зна­ки ра­вен­ства.

 Решение задач

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер:

При­мер 1: На­чер­ти­те тре­уголь­ник DEF таким, чтобы угол Е был пря­мым. На­зо­ви­те сто­ро­ны, ле­жа­щие про­тив со­от­вет­ству­ю­щих вер­шин.

Ре­ше­ние:

                                         

Рис. 3. Ри­су­нок к при­ме­ру 1

Ответ: сто­ро­на DF лежит на­про­тив угла Е, сто­ро­на EF лежит на­про­тив угла D, сто­ро­на DE лежит на­про­тив угла F.

При­мер 2: На­чер­ти­те тре­уголь­ник DEF таким, чтобы угол Е был пря­мым. На­зо­ви­те углы, ле­жа­щие про­тив со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон.

Ре­ше­ние:

                                         

Рис. 4. Ри­су­нок к при­ме­ру 2

Ответ: Угол Е лежит на­про­тив сто­ро­ны DF, угол D лежит на­про­тив сто­ро­ны EF, угол F лежит на­про­тив сто­ро­ны DE.

При­мер 3: На­чер­ти­те тре­уголь­ник DEF таким, чтобы угол Е был пря­мым. Ука­жи­те углы, ко­то­рые при­ле­жат к со­от­вет­ству­ю­щим сто­ро­нам.

Ре­ше­ние:

                                         

Рис. 5. Ри­су­нок к при­ме­ру 3

Ответ: Углы D и F при­ле­жат к сто­роне DF, углы Е и F при­ле­жат к сто­роне EF, углы Е и D при­ле­жат к сто­роне ED.

При­мер 4: Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 48 см, а одна из сто­рон равна 18 см. Най­ди­те две дру­гие сто­ро­ны, если их раз­ность равна 4,6 см.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок.

                           

Рис. 6. Ри­су­нок к при­ме­ру 4

Из­вест­но, что пе­ри­метр (сумма всех сто­рон тре­уголь­ни­ка) равен 48 см. За­пи­шем это ра­вен­ство: , также из­вест­но, что сто­ро­на a = 18 см, а . Вы­ра­зим из со­от­но­ше­ния пе­ри­мет­ра сумму .

. Вы­ра­зим из со­от­но­ше­ния раз­но­сти двух сто­рон любую сто­ро­ну:  и под­ста­вим в со­от­но­ше­ние . По­лу­чим и решим урав­не­ние.  Сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.

При­мер 5: Сто­ро­на АВ тре­уголь­ни­ка АВС равна 17 см. Сто­ро­на АС вдвое боль­ше сто­ро­ны АВ, а сто­ро­на ВС на 10 мень­ше сто­ро­ны АС. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

                            

Рис. 7. Ри­су­нок к при­ме­ру 5

По­сколь­ку сто­ро­на АС вдвое боль­ше сто­ро­ны АВ, то АС = 2 · AB = 2 · 17 = 34 см. Далее най­дем сто­ро­ну ВС, по усло­вию она мень­ше сто­ро­ны АС на 10 см, то есть BC = AC – 10 = 34 – 10 = 24 см.

Пе­ри­метр мы можем найти, сло­жив длины всех сто­рон тре­уголь­ни­ка Р = АС + ВС + АС = 34 + 24 + 17 = 75 см.

Ответ: 75 см.

При­мер 6: От­ре­зок BD = DC. Срав­ни­те пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков АВС и ABD.

Ре­ше­ние:

Рис. 8. Ри­су­нок к при­ме­ру 6

Вы­ра­зим пе­ри­мет­ры со­от­вет­ству­ю­щих тре­уголь­ни­ков:

 Чтобы срав­нить, какой пе­ри­метр боль­ше, мы вос­поль­зу­ем­ся стан­дарт­ным ме­то­дом в ма­те­ма­ти­ке – ме­то­дом вы­чи­та­ния. Вы­чтем пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков. Учи­ты­ва­ем также, что BD = DC.

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли по­ло­жи­тель­ное число (длина сто­ро­ны ВС), по­это­му .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/treugolniki

http://www.youtube.com/watch?v=PnSgjfdD5Dg

http://www.youtube.com/watch?v=-46jhzgmptU

http://volna.org/wp-content/uploads/2014/11/volna_org_poniatiie_trieugholnika_i_iegho_eliemienty_ravnyie_trieugholniki.zip

http://100-bal.ru/pars_docs/refs/48/47282/47282_html_m791904ae.gif

http://www.uchkollektor39.ru/uploads/images/items/e03e2482e0c06a2976941609e275dcf5.jpg

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/09/1_Vidy-treugolnikov.-Ravnye-treugolniki.jpg

http://pandia.ru/text/78/017/12676.php

Файлы