7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

7 класс. Геометрия. Треугольники, признаки равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника ...

Комментарии преподавателя

 Повторение первого признака равенства треугольников

Вспом­ним пред­ва­ри­тель­но фор­му­ли­ров­ку пер­во­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков.

                                    

Рис. 1. Пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков

Опре­де­ле­ние: Пер­вый при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков – это ра­вен­ство их по углу и при­ле­жа­щим сто­ро­нам.

Из этих трех ра­венств и вы­те­ка­ет ра­вен­ство самих тре­уголь­ни­ков.

Смысл ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков за­клю­ча­ет­ся в том, что при сов­ме­ще­нии этих трех эле­мен­тов га­ран­ти­ру­ет­ся сов­ме­ще­ние, то есть ра­вен­ство всех осталь­ных эле­мен­тов двух тре­уголь­ни­ков.

 Решение задач

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щие за­да­чи:

При­мер 1: Из­ме­рить на мест­но­сти рас­сто­я­ние между двумя точ­ка­ми A и B, между ко­то­ры­ми нель­зя прой­ти по пря­мой. Для этого вы­би­ра­ют такую точку С, из ко­то­рой можно прой­ти и к точке А, и к точке В, и из ко­то­рой видны обе эти точки. Про­ве­ши­ва­ют рас­сто­я­ния АС и ВС, про­дол­жа­ют их за точку С и от­ме­ря­ют СD = AC и ЕС = СВ. Тогда от­ре­зок ED равен ис­ко­мо­му рас­сто­я­нию. Объ­яс­ни­те, по­че­му.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок:

                

Рис. 2. Чер­теж к при­ме­ру 1

Про­длим от­рез­ки АС и ВС. От­ме­ря­ем СЕ = СВ и CD = CA. ∆CDE = ∆CAB по пер­во­му при­зна­ку.

.

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что ED = AB.

Ответ: За­да­ча ре­ше­на.

При­мер 2: Через се­ре­ди­ну О от­рез­ка АВ про­ве­де­на пря­мая р, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой АВ. До­ка­жи­те, что каж­дая точка Х этой пря­мой оди­на­ко­во уда­ле­на от точек А и В (каж­дая точка се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку АВ рав­но­уда­ле­на от его кон­цов).

Ре­ше­ние:

Рис. 3. Чер­теж к при­ме­ру 2

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки АОХ и ВОХ. ∆АОХ = ∆ВОХ – по пер­во­му при­зна­ку.

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АХ = ВХ для любой про­из­воль­ной точки Х, ко­то­рая при­над­ле­жит пря­мой р.

Ответ: До­ка­за­но.

При­мер 3: На сто­роне АВ тре­уголь­ни­ка АВС взята точка D, а на сто­роне тре­уголь­ни­ка  взята точка . Из­вест­но, что тре­уголь­ни­ки ADC и  равны и от­рез­ки DB и  равны. До­ка­жи­те ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков АВС и .

Ре­ше­ние:

                                             

Рис. 4. Чер­теж к при­ме­ру 3

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки АВС и . В них . АС =  (по­сколь­ку тре­уголь­ни­ки ADC и  равны по усло­вию). В нашем слу­чае для до­ка­за­тель­ства необ­хо­ди­мо лишь, чтобы АВ =  . До­ка­жем, что это дей­стви­тель­но так.

  

AD =  из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков. DB =  по усло­вию. От­сю­да сле­ду­ет, что АВ =  и при­ле­жа­щие к ним сто­ро­ны тоже равны у двух тре­уголь­ни­ков, зна­чит, АВС = .

Ответ: До­ка­за­но.

При­мер 4: На сто­ро­нах ВС и  рав­ных тре­уголь­ни­ков АВС и  взяты со­от­вет­ствен­но точки М и , при­чем ВМ : BС =: = 1 : 3. До­ка­зать, что АМ = .

Ре­ше­ние:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 4

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков АВС и  сле­ду­ет, что , АВ = , ВС = . Для до­ка­за­тель­ства того, что DАВМ = D, у нас есть уже два необ­хо­ди­мых эле­мен­та, это ра­вен­ство углов  и ра­вен­ство сто­рон АВ = , зна­чит, нам необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что ВМ = .                                                          = 

Тре­уголь­ни­ки DАВМ = D по пер­во­му при­зна­ку. А зна­чит, АМ = .

Ответ: До­ка­за­но.

При­мер 5: На сто­ро­нах угла CAD от­ме­че­ны точки В и Е так, что точка В лежит на от­рез­ке АС, а точка Е – на от­рез­ке AD, при­чем АС = AD и АВ = АЕ. До­ка­жи­те, что .

Ре­ше­ние:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 5

Обо­зна­чим  как  и как . До­ка­зать, что , – это то же самое, что до­ка­зать ра­вен­ство смеж­ных с ними углов и . DBAD = DEAC по пер­во­му при­зна­ку, по­сколь­ку у них общий, ВА = ЕА и AD = AC. , так как они лежат на­про­тив рав­ных сто­рон AD и AC со­от­вет­ствен­но. Мы до­ка­за­ли ра­вен­ство смеж­ных углов, а зна­чит, и до­ка­за­ли ра­вен­ство ис­ко­мых. .

Ответ: До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/reshenie-zadach-po-teme-pervyy-priznak-ravenstva-treugolnikov

http://www.youtube.com/watch?v=xRh4T-pgx9Q

http://www.youtube.com/watch?v=-46jhzgmptU

http://test-training.ru/geometry-7-class/g7-3-1-pervy-priznak-ravenstva-treugolynikov.html

http://proteacher.ru/2015/02/19/8_1-yy_priznak_ravenstva_treugolnikov_1424348783_102992.ppt

 

Файлы