9 класс. Геометрия. Движение. Симметрия и поворот.

9 класс. Геометрия. Движение. Симметрия и поворот.

Преобразование фигуры называется поворотом,....

Комментарии преподавателя

По­во­рот как раз­но­вид­ность дви­же­ния

 

 1. Введение

Дви­же­ние – отоб­ра­же­ние плос­ко­сти на себя, при ко­то­ром рас­сто­я­ния между точ­ка­ми плос­ко­сти со­хра­ня­ют­ся.

При­ме­ры дви­же­ния: осе­вая сим­мет­рия, цен­траль­ная сим­мет­рия, па­рал­лель­ный пе­ре­нос.

Свой­ства дви­же­ния: от­ре­зок пе­ре­хо­дит в от­ре­зок, угол пе­ре­хо­дит в рав­ный ему угол, окруж­ность пе­ре­хо­дит в окруж­ность того же ра­ди­у­са и т. п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Пусть име­ет­ся неко­то­рая вы­де­лен­ная точка О плос­ко­сти. Кроме того, рас­смот­рим про­из­воль­ную точку М той же плос­ко­сти. По­во­ро­том (обо­зна­че­ние – ) от­но­си­тель­но точки О, на­зы­ва­е­мой цен­тром по­во­ро­та на Ðα (угол по­во­ро­та) на­зы­ва­ет­ся такое отоб­ра­же­ние плос­ко­сти на себя, при ко­то­ром любая точка М плос­ко­сти пе­ре­хо­дит в такую точку М1 той же плос­ко­сти, что ОМ = ОМ1 и, кроме того,  ÐМОМ1 = α (Рис. 1).

До­ка­жем, что по­во­рот яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем.

До­ка­за­тель­ство (Рис. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

Рас­смот­рим точки М и N плос­ко­сти, пе­ре­хо­дя­щие при по­во­ро­те со­от­вет­ствен­но в точки М1 и N1 той же плос­ко­сти.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ОМN и ОМ1N1. В этих тре­уголь­ни­ках ОМ = ОМ1 и ОN = ОN1.                     ÐМОN = α – ÐМОN1; ÐМ1ОN1 = α – ÐМОN1, сле­до­ва­тель­но, ÐМОN = ÐМ1ОN1. Таким об­ра­зом, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. От­сю­да вы­те­ка­ет ра­вен­ство от­рез­ков МN = М1N1. По­сколь­ку точки М и N  вы­би­ра­лись нами про­из­воль­но, можно утвер­ждать, что при по­во­ро­те длины от­рез­ков со­хра­ня­ют­ся.

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

Нам необ­хо­ди­мо на­учить­ся ис­поль­зо­вать рас­смот­рен­ный тип дви­же­ния.

За­да­ча (ана­ло­гич­ная № 1167 из учеб­ни­ка Ата­на­сян, см. спи­сок ли­те­ра­ту­ры)

По­строй­те тре­уголь­ник, ко­то­рый по­лу­ча­ет­ся из дан­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по­во­ро­том во­круг точки А на угол 60° про­тив ча­со­вой стрел­ки ( ∆АВС).

Ре­ше­ние (Рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

При по­во­ро­те точка А пе­рей­дет в саму себя. Точки В и С пе­рей­дут в точки В1 и С1 со­от­вет­ствен­но. Углы тре­уголь­ни­ка и длины его сто­рон, в со­от­вет­ствии с об­щи­ми свой­ства­ми дви­же­ния, со­хра­нят­ся (все обо­зна­че­ния сто­рон и углов даны на Рис. 3).

По­стро­е­ния при по­во­ро­те крайне про­стые: при по­мо­щи цир­ку­ля по­стро­ить дугу окруж­но­сти ра­ди­у­сом, рав­ным длине сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка (АС или АВ), с цен­тром в точке А, далее при по­мо­щи транс­пор­ти­ра от­ло­жить на дуге угол 60° и от­ме­тить точ­ку-об­раз (В1 или С1). Со­еди­нив по­лу­чен­ные точ­ки-об­ра­зы от­рез­ка­ми, можно по­лу­чить ис­ко­мый тре­уголь­ник А1В1С1, яв­ля­ю­щий­ся об­ра­зом тре­уголь­ни­ка АВС (∆АВС = ∆А1В1С1).

За­да­ча (Ата­на­сян, № 1168).

Точка О яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. До­ка­жи­те, что при по­во­ро­те во­круг точки О на угол 120° тре­уголь­ник ABC отоб­ра­жа­ет­ся на себя.

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем ри­су­нок (Рис. 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

Точка О пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся цен­тром этого тре­уголь­ни­ка. Сле­до­ва­тель­но, вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка при по­во­ро­те во­круг точки О будут «от­ри­со­вы­вать» дуги окруж­но­сти, опи­сан­ной около ∆АВС. Легко по­ка­зать, что ÐВОС = ÐСОА = ÐАОВ = 120°. Сле­до­ва­тель­но, при по­во­ро­те , точка А пе­рей­дет в точку В, точка В пе­рей­дет в точку С и точка С  пе­рей­дет в точку А (на­пом­ним, что угол по­во­ро­та счи­та­ет­ся по­ло­жи­тель­ным, если по­во­рот про­ис­хо­дит про­тив ча­со­вой стрел­ки). Таким об­ра­зом, ∆АВС = ∆АВС .

За­да­ча ре­ше­на.

За­да­ча. Дана пря­мая, на ко­то­рой за­да­ны точка О1  и точка О2  и даны точки А и В, ле­жа­щие по раз­ные сто­ро­ны от этой пря­мой. При­чем имеют место ра­вен­ства рас­сто­я­ний: О1А = О1В, О2А = О2В.

До­ка­зать, что точки А и В сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но ука­зан­ной пря­мой.

Ре­ше­ние (Рис. 5).

Рис. 5.

Для до­ка­за­тель­ства тре­бу­е­мо­го в за­да­че утвер­жде­ния нам необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что АМ = МВ и АВ^ О1О2 .

По­стро­им окруж­ность ра­ди­у­сом О1А с цен­тром в точке О1 и окруж­ность ра­ди­у­сом О2А с цен­тром в точке О2.

Рас­смот­рим неко­то­рую осе­вую сим­мет­рию с осью О1О2. При таком отоб­ра­же­нии по­лу­окруж­но­сти, рас­по­ло­жен­ные в верх­ней по­лу­плос­ко­сти, пе­рей­дут в со­от­вет­ству­ю­щие по­лу­окруж­но­сти, рас­по­ло­жен­ные в ниж­ней по­лу­плос­ко­сти от­но­си­тель­но оси сим­мет­рии. При этом точка пе­ре­се­че­ния «верх­них» по­лу­окруж­но­стей – точка А – пе­рей­дет в точку пе­ре­се­че­ния «ниж­них» по­лу­окруж­но­стей – точку В. То есть точка В сим­мет­рич­на точке А от­но­си­тель­но рас­смат­ри­ва­е­мой пря­мой. За­да­ча ре­ше­на.

В за­клю­че­ние раз­бе­рем еще один про­стое при­ме­не­ние по­ня­тий сим­мет­рии.

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD.

До­ка­зать, что точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

На­по­ми­на­ние: фи­гу­ра на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но точки О, если для каж­дой точки фи­гу­ры сим­мет­рич­ная ей точка от­но­си­тель­но точки О также при­над­ле­жит этой фи­гу­ре. Точка О на­зы­ва­ет­ся цен­тром сим­мет­рии фи­гу­ры. Го­во­рят также, что фи­гу­ра об­ла­да­ет цен­траль­ной сим­мет­ри­ей.

Рис. 6.

Ре­ше­ние (Рис. 6).

На ри­сун­ке точка О –  точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма. В силу свойств па­рал­ле­ло­грам­ма AО = ОC и BО = ОD, а также любой от­ре­зок, концы ко­то­ро­го лежат на про­ти­во­по­лож­ных сто­ро­нах и про­хо­дя­щий через точку О (на­при­мер, от­ре­зок MN на Рис. 6), де­лит­ся в этой точке по­по­лам. Это озна­ча­ет, что при осу­ществ­ле­нии цен­траль­ной сим­мет­рии от­но­си­тель­но цен­тра, рас­по­ло­жен­но­го в точке О, все точки, при­над­ле­жа­щие сто­ро­нам, пе­рей­дут в точки, также при­над­ле­жа­щие сто­ро­нам. Таким об­ра­зом, па­рал­ле­ло­грамм пе­рей­дет сам в себя, т. е. точка О – центр сим­мет­рии.

Под­ве­дем итоги: на дан­ном уроке мы ввели в рас­смот­ре­ние новый вид отоб­ра­же­ния плос­ко­сти на себя – по­во­рот, до­ка­за­ли, что он яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем и ре­ши­ли ряд задач, ко­то­рые по­мо­гут лучше по­нять изу­ча­е­мую тему.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dvizhenie/povorot-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=DSkMMEW_b1g

http://www.youtube.com/watch?v=5_n4GnrlLu8

http://www.youtube.com/watch?v=RBLl222dYEs

http://www.metod-kopilka.ru/konspekt_uroka_po_geometrii_quotdvizheniya._parallelnyy_perenos_i_povorot.quot_9_klass-43054.htm

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/46-test-po-geometrii-9-klass-tema-parallelnyj-perenos-i-povorot-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/47-test-po-geometrii-9-klass-tema-parallelnyj-perenos-i-povorot-variant-2.html

http://player.myshared.ru/750552/data/images/img6.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы