9 класс. Геометрия. Движение. Симметрия и поворот.

9 класс. Геометрия. Движение. Симметрия и поворот.

Комментарии преподавателя

По­ня­тие дви­же­ния

 1. Введение

Отоб­ра­же­ние плос­ко­сти на себя.

Все по­ня­тия, ко­то­рые будут вве­де­ны нами в этом раз­де­ле, фак­ти­че­ски, уже изу­ча­лись нами ранее, с той лишь раз­ни­цей, что те­перь мы вве­дем их в общем виде.

Ось сим­мет­рии.

Осе­вая сим­мет­рия – это такой тип сим­мет­рии, при ко­то­рой каж­дой точке плос­ко­сти, на­при­мер в точке М (Рис. 1), по опре­де­лен­но­му за­ко­ну ста­вит­ся в со­от­вет­ствие дру­гая точка той же плос­ко­сти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Закон, со­глас­но ко­то­ро­му про­во­дит­ся это со­от­вет­ствие, таков:

Из точки М про­во­дит­ся пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой и по­лу­ча­ет­ся точка Р, точка пе­ре­се­че­ния пер­пен­ди­ку­ля­ра с осью. От­кла­ды­вал­ся от­ре­зок РМ1=РМ, и на­хо­дит­ся точка М1. Итак, любой точке М плос­ко­сти ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ная точка М1 плос­ко­сти, при этом:

1. МР^а, Р – точка их пе­ре­се­че­ния

2. РМ1=РМ  , от­ку­да по­лу­ча­лась точка М1

При этом мы опи­ра­лись на из­вест­ный гео­мет­ри­че­ский факт: из точки М можно про­ве­сти лишь одну пря­мую пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.

Об­рат­ная опе­ра­ция: если при осе­вой сим­мет­рии точке М ста­вит­ся в со­от­вет­ствие точка М1, то точке М1 ста­вит­ся в со­от­вет­ствие точка М.

Точно такие же опе­ра­ции со­от­вет­ствия можно про­ве­сти и для пары точек N и N1 той же плос­ко­сти (Рис. 1), при­чем если нам из­вест­на точка N1, ко­то­рая по­став­ле­на в со­от­вет­ствие точке N, то нам из­вест­на и сама точка N. Итак, каж­дой точке плос­ко­сти ста­вит­ся в со­от­вет­ствие иная точка плос­ко­сти. И любая точка плос­ко­сти имеет свою со­от­вет­ству­ю­щую точку.

Осе­вая сим­мет­рия яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем так на­зы­ва­е­мо­го отоб­ра­же­ния плос­ко­сти насебя.

Дру­гим част­ным слу­ча­ем отоб­ра­же­ния плос­ко­сти на саму себя яв­ля­ет­ся цен­траль­ная сим­мет­рия.

Точка плос­ко­сти М пе­ре­хо­дит в точку плос­ко­сти дру­гую М1 по сле­ду­ю­ще­му за­ко­ну (Рис. 2):

1. про­во­дит­ся пря­мая МО

2. эта пря­мая про­дол­жа­ет­ся и на ней от­кла­ды­ва­ет­ся от­ре­зок ОМ1=ОМ, по­лу­ча­ем точку М1

М1 ста­вит­ся в со­от­вет­ствие точке М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

Оба пред­став­лен­ных при­ме­ра отоб­ра­же­ний об­ла­да­ют сле­ду­ю­щим свой­ством:

если взять от­ре­зок MN дли­ною а, то он пе­рей­дет в от­ре­зок M1N1 той же длины, т. е. рас­сто­я­ние между лю­бы­ми точ­ка­ми со­хра­ня­ют­ся.

Отоб­ра­же­ние плос­ко­сти на себя, при ко­то­ром все рас­сто­я­ния со­хра­ня­ют­ся, на­зы­ва­ет­сядви­же­ни­ем,

т. е. «плос­кость дви­га­ет­ся, а рас­сто­я­ние со­хра­ня­ет­ся». Дви­же­ний таких несколь­ко, мы пока рас­смот­ре­ли два из них, а имен­но осе­вую сим­мет­рию и цен­траль­ную сим­мет­рию. Те­перь до­ка­жем, что каж­дая из этих сим­мет­рий яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем. Надо до­ка­зать, что любые рас­сто­я­ния со­хра­ня­ют­ся.

До­ка­жем это для осе­вой сим­мет­рии.

Итак, при от отоб­ра­же­нии, М → М1, N → N1, при­чем РМ1=РМ, NQ=QN1 (Рис. 3)

Нам нужно до­ка­зать, что MN= M1N1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

До­ка­за­тель­ство.

Со­ста­вим чер­теж (Рис. 4).

Сде­ла­ем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния, по­стро­им точку К такую, что МК^ NN1,

тогда точка К отоб­ра­зит­ся в точку К1.

До­ка­жем ра­вен­ство пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков MNК и M1N1К1. В этих тре­уголь­ни­ках длины, ин­те­ре­су­ю­щие нас, яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми, зна­чит, надо до­ка­зать ра­вен­ство ка­те­тов.

МК = М1К1 как два пер­пен­ди­ку­ля­ра к па­рал­лель­ным пря­мым.

Из Рис. 4 видно, что NK = NQ – KQ и N1K1 = N1Q – K1Q. Из этих ра­венств и усло­вия того, что точка N отоб­ра­зи­лась в точку N1,  вы­те­ка­ет, что NK = N1K1.

То есть тре­уголь­ни­ки равны по двум ка­те­там, а сле­до­ва­тель­но, равны и их ги­по­те­ну­зы, то есть  MN = M1N1, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.

Рис. 5.

До­ка­жем те­перь, что цен­траль­ная сим­мет­рия также яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем. До­пол­ним Рис. 2 точ­кой N и точ­кой N1, в ко­то­рую отоб­ра­зит­ся пер­вая точка при цен­траль­ной сим­мет­рии (Рис. 5).

Для этого по­стро­им от­ре­зок ON и его про­дол­же­ние – от­ре­зок ON1, по­лу­чим точку N1. При этом ON1 = ON. Необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что MN = M1N1

До­ка­за­тель­ство.

 по двум сто­ро­нам и углу между ними (ÐMОN = ÐM1ОN1 как вер­ти­каль­ные, а со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны тре­уголь­ни­ков равны вслед­ствие за­ко­нов цен­траль­ной сим­мет­рии) .

То есть и при цен­траль­ной сим­мет­рии любые рас­сто­я­ния со­хра­ня­ют­ся. Таким об­ра­зом, и цен­траль­ная сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем.

Итак, мы рас­смот­ре­ли отоб­ра­же­ние плос­ко­сти на себя. Рас­смот­ре­ли два при­ме­ра отоб­ра­же­ния  плос­ко­сти на себя: осе­вую сим­мет­рию и цен­траль­ную сим­мет­рию. И под­ме­ти­ли одно важ­ное об­сто­я­тель­ство, что любые рас­сто­я­ния при этих пре­об­ра­зо­ва­ни­ях со­хра­ня­ют­ся. Те пре­об­ра­зо­ва­ния плос­ко­сти на себя, ко­то­рые со­хра­ня­ют все рас­сто­я­ния, на­зы­ва­ют­ся дви­же­ни­я­ми. Мы до­ка­за­ли, что осе­вая сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем и цен­траль­ная сим­мет­рия яв­ля­ет­ся дви­же­ни­ем.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dvizhenie/ponyatie-dvizheniya-osevaya-i-tsentralnaya-simmetriya

http://www.youtube.com/watch?v=KQVvIPgse98

http://www.youtube.com/watch?v=771DMOEqH4o

http://www.youtube.com/watch?v=khdLDFoxWd8

http://uslide.ru/uploads/files/4/dvizenie.ppt

http://u.5klass.net/zip/6e9f438097551ff4fd2777ff2e2bc4c6.zip

http://len1911.narod.ru/geom_8_15.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_b6c5d852872e4e378cc3d878e1c31898.jpg

http://player.myshared.ru/1247093/data/images/img12.jpg

http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/dvizhenie-10434/poniatie-dvizheniia-simmetriia-10437/re-150d4afe-9334-462c-abe7-22a9b9b43f10

Файлы