9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Правильный многоугольник.

9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Правильный многоугольник.

Комментарии преподавателя

 Определение правильного многоугольника

Пра­виль­ным мно­го­уголь­ни­ком на­зы­ва­ет­ся такой вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го равны все сто­ро­ны и равны все углы.

Вот фраг­мент пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка:  – сто­ро­на,  – длина этой сто­ро­ны,  – угол (рис. 1). Все сто­ро­ны равны, и все углы тоже равны:

Рис. 1. Вы­пук­лый мно­го­уголь­ник

Такой вы­пук­лый n-уголь­ник на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ным.

 Особенности правильного многоугольника

У пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка есть важ­ные осо­бен­но­сти.

1. Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры всех сто­рон пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке (), в цен­тре опи­сан­ной окруж­но­сти, ра­ди­у­сом окруж­но­сти яв­ля­ет­ся от­ре­зок  и т. д.

2. Все бис­сек­три­сы всех внут­рен­них углов пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке . Зна­чит, в n-уголь­ник можно впи­сать окруж­ность,  – се­ре­ди­ны сто­рон, это точки ка­са­ния,  – это ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.  

Итак, есть опи­сан­ная окруж­ность и есть впи­сан­ная окруж­ность, центр один и тот же (точка ), эта точка на­зы­ва­ет­ся цен­тром пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка, а ра­ди­у­сы  яв­ля­ют­ся важ­ны­ми эле­мен­та­ми этого -уголь­ни­ка(рис. 2).

Далее от­ме­тим, что имеем ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков  и т. д.

Если мы за­фик­си­ру­ем , то важ­ней­ши­ми эле­мен­та­ми n-уголь­ни­ка яв­ля­ют­ся: длина сто­ро­ны (); длина ра­ди­у­са опи­сан­ной окруж­но­сти (); длина ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти (); пе­ри­метр (); пло­щадь (. Пер­вые 4 эле­мен­та ли­ней­ные. При за­дан­ном  любой из ли­ней­ных эле­мен­тов од­но­знач­но за­да­ет n-уголь­ник, а зна­чит, и все его ос­нов­ные эле­мен­ты.

Рис. 2. Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник с опи­сан­ной и впи­сан­ной окруж­но­стя­ми

 Задача 1, вычисление элементов правильного n – угольника через радиус описанной окружности

За­да­дим (рис. 3), тре­бу­ет­ся найти все осталь­ные эле­мен­ты (), за­ме­тим, что  у нас – фик­си­ро­ван­ное число.

Рис. 3. Эле­мен­ты мно­го­уголь­ни­ка

Ре­ше­ние

Ре­ше­ние ос­но­ва­но на тре­уголь­ни­ке .

 – это центр n-уголь­ни­ка, центр впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­сти;

 – это вер­ши­на, она лежит на опи­сан­ной окруж­но­сти, зна­чит,  – это и есть ра­ди­ус.

 – это по­ло­ви­на сто­ро­ны, по­то­му что точка  – это точка ка­са­ния с впи­сан­ной окруж­но­стью.

Важно, что мы знаем (∠, а  – по­ло­ви­на этого угла).

 – ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти;  – ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти;

 – по­ло­ви­на сто­ро­ны.

Если нам дан ра­ди­ус, то, по су­ще­ству, нам необ­хо­ди­мо ре­шить пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, в ко­то­ром дана ги­по­те­ну­за () и ост­рый угол.

Чтобы найти катет (), необ­хо­ди­мо ги­по­те­ну­зу () умно­жить на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла ():

За­да­ча ре­ше­на, ме­то­ди­ка ре­ше­ния осталь­ных задач такая же.

 Задача 2, вычисление элементов правильного n – угольника через длину стороны

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

Ре­ше­ние ос­но­ва­но на .

На­хо­дим (рис. 4),  – ги­по­те­ну­за, чтобы найти ги­по­те­ну­зу, необ­хо­ди­мо катет раз­де­лить на синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла.

На­хо­дим (рис. 4),  – катет, чтобы найти катет через дру­гой катет, необ­хо­ди­мо этот дру­гой катет умно­жить на ко­тан­генс при­ле­жа­ще­го угла:

Оста­лось найти :

Рис. 4. Ра­ди­у­сы опи­сан­ной и впи­сан­ной окруж­но­стей

За­да­ча ре­ше­на.

 Задача 3, для площади правильного n – угольника

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

 – это пе­ри­метр ()

Ответ:.

Част­ные слу­чаи

 

 Задача 4, для правильного треугольника

Важ­ней­шим част­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник.

За­да­ча 4

Пер­вый спо­соб

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

За­да­ча ре­ше­на.

Вто­рой спо­соб

Рис. 5. Ра­ди­у­сы опи­сан­ной и впи­сан­ной окруж­но­сти

Ри­су­нок 6. 

Чтобы найти катет () (рис. 5), необ­хо­ди­мо ги­по­те­ну­зу умно­жить на :

Катет, ле­жа­щий про­тив угла в, равен по­ло­вине ги­по­те­ну­зы:

Чтобы найти катет, нужно ги­по­те­ну­зу умно­жить на :

За­да­ча ре­ше­на.

Вывод

Мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем «пра­виль­ный мно­го­уголь­ник», узна­ли, ка­ко­вы его эле­мен­ты, и вы­ве­ли фор­му­лы для их вы­чис­ле­ния, ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи, рас­смот­ре­ли за­да­чи част­но­го слу­чая.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/formuly-dlya-vychisleniya-ploschadi-pravilnogo-mnogougolnika-i-ego-elementov

http://www.youtube.com/watch?v=TAmBVKeI5ZE

http://www.youtube.com/watch?v=Oik0JXdJi5k

http://www.youtube.com/watch?v=dOU16EZseKg

http://www.youtube.com/watch?v=ttLqGlrzYQY

http://istudy.su/wp-content/uploads/2015/10/8_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C-%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0_1.jpg

http://gdz-matem.ru/9class/329-121-pravilnye-mnogougolniki.html

http://st03.kakprosto.ru/tumb/680/images/article/2012/4/1/1_5254fef0242275254fef024266.jpg

http://sneg.audio/show/%D1%88%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%B2%D1%80%D1%8B-%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%BC%D1%83%D0%B7%D1%8B%D0%BA%D0%B8

Файлы