9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, ...

Комментарии преподавателя

 Повторение определения синуса и косинуса для угла от 0 до 180

По­вто­ре­ние тео­рии нач­нем с пе­реч­ня ос­нов­ных тео­рем.

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­мам

1. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

,

пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­вине про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними.

            

2. Тео­ре­ма си­ну­сов и след­ствие из неё:

,

сто­ро­на а от­но­сит­ся к си­ну­су про­ти­во­ле­жа­ще­го угла α так же, как сто­ро­на b от­но­сит­ся к си­ну­су про­ти­во­ле­жа­ще­го угла β так же, как сто­ро­на с от­но­сит­ся к си­ну­су сво­е­го про­ти­во­ле­жа­ще­го угла γ. Все эти от­но­ше­ния равны 2R, где R – это ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти.

Чтобы найти ра­ди­ус, до­ста­точ­но знать сто­ро­ну и синус про­ти­во­ле­жа­ще­го угла.

3. Тео­ре­ма ко­си­ну­сов:

,

квад­рат сто­ро­ны равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

В ос­нов­ных тео­ре­мах фи­гу­ри­ру­ет синус и ко­си­нус угла тре­уголь­ни­ка. Но угол тре­уголь­ни­ка может быть тупым. По­это­му вспом­ним опре­де­ле­ние си­ну­са и ко­си­ну­са для угла .

На ри­сун­ке 2 изоб­ра­же­на по­лу­окруж­ность ра­ди­у­сом 1, угол α ост­рый, точка М со­от­вет­ству­ет этому углу. У точки М есть две ко­ор­ди­на­ты ().

Можно дать опре­де­ле­ние си­ну­са и ко­си­ну­са. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник (вы­де­лен­ный на рис. 2) с ги­по­те­ну­зой 1. Си­ну­сом угла на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние ка­те­та про­ти­во­ле­жа­ще­го к ги­по­те­ну­зе, т. е. это, ор­ди­на­та точки М. Ко­си­ну­сом угла на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние при­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе, т. е. , абс­цис­са точки М.

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

На ри­сун­ке 3 угол α тупой. У точки М есть две ко­ор­ди­на­ты ().

Сле­до­ва­тель­но, , т. е. абс­цис­са точки, а , то есть ор­ди­на­та точки. Таким об­ра­зом, мы рас­про­стра­ни­ли синус и ко­си­нус угла от 0 до 180 гра­ду­сов.

Ис­хо­дя из этого, ко­ор­ди­на­ты ка­кой-ли­бо точки А будут сле­ду­ю­щи­ми:

 Задача 1- решение треугольника с помощью теоремы синусов

Дано: в тре­уголь­ни­ке АВС сто­ро­на АВ=8см, угол А=, угол В= (рис. 4).

Найти: сто­ро­ну АС и ВС, угол С, то есть ре­шить тре­уголь­ник.

Ре­ше­ние:

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как сумма углов тре­уголь­ни­ка равна , угол С равен  минус 2 из­вест­ных угла:                                                                              

С=

Все углы из­вест­ны.

Далее ис­поль­зу­ем тео­ре­му си­ну­сов:

 , где 8 – длина сто­ро­ны АВ, то есть сто­ро­ны с.

По­лу­чи­ли урав­не­ние от­но­си­тель­но a

а=

=

Сто­ро­на ВС4 см

По тео­ре­ме си­ну­сов на­хо­дим сто­ро­ну b=AC

 

b

Сто­ро­на АС6 см

Ответ: угол С=105, сто­ро­на ВС4 см, сто­ро­на АС6 см.

Тре­уголь­ни­ки вхо­дят в со­став мно­гих фигур, на­при­мер тра­пе­ций, па­рал­ле­ло­грам­мов. По­это­му ре­ше­ние тре­уголь­ни­ков поз­во­ля­ет ре­шать за­да­чи с этими фи­гу­ра­ми.

 Задача 2 -  нахождение диагоналей параллелограмма с помощью теоремы  косинусов

Дано: смеж­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны а и b, один из углов равен γ (рис. 5).

Найти: диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние:

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

АВСD – па­рал­ле­ло­грамм, сто­ро­на АВ=b, сто­ро­на AD=a, угол γ – угол между сто­ро­на­ми a и b (рис. 5). Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABD задан пол­но­стью. Найти BD и AC.

Ре­ше­ние дан­ной за­да­чи для па­рал­ле­ло­грам­ма пол­но­стью ос­но­ва­но на тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка. Диа­го­наль BD вхо­дит в тре­уголь­ник АВD. В этом тре­уголь­ни­ке из­вест­ны две сто­ро­ны и угол между ними. Сле­до­ва­тель­но:

 

 

Одна диа­го­наль най­де­на.

Вто­рая диа­го­наль АС вхо­дит в тре­уголь­ник АСD. Ис­поль­зу­ем свой­ство па­рал­ле­ло­грам­ма. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. AB=CD=b. Сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­роне, равна 180º. Cле­до­ва­тель­но, ∠ADC=180.

 

При­ме­ня­ем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ACD:

 

AC=

За­да­ча ре­ше­на.

Тео­ре­ма ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка поз­во­ля­ет вы­ве­сти важ­ное мет­ри­че­ское свой­ство для па­рал­ле­ло­грам­ма.

 Задача 3 – доказательство метрического свойства для параллелограмма с помощью теоремы  косинусов

До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равна сумме квад­ра­тов всех его сто­рон.

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дано: ABCD-па­рал­ле­ло­грамм, =BD и =AC - его диа­го­на­ли, a=BC=AD и b=AB=DC – cто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, ∠BAD=γ, ∠ADC=180 (рис. 6).

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Най­дём  из тре­уголь­ни­ка ABD, то есть вы­пи­шем для этого тре­уголь­ни­ка тео­ре­му ко­си­ну­сов.  най­дём из тре­уголь­ни­ка ADC, также вы­пи­сав для него тео­ре­му ко­си­ну­сов.

Скла­ды­ва­ем два ра­вен­ства:

За­да­ча ре­ше­на, свой­ство до­ка­за­но.

Из преды­ду­щей за­да­чи мы уви­де­ли, что свой­ство тре­уголь­ни­ка поз­во­ля­ет ре­шать за­да­чи для па­рал­ле­ло­грам­ма и даже уста­нав­ли­ва­ет свой­ство па­рал­ле­ло­грам­ма. Это свой­ство па­рал­ле­ло­грам­ма поз­во­ля­ет ре­шать за­да­чи для тре­уголь­ни­ка.

 Задача 4 – нахождение медианы треугольника с помощью свойства параллелограмма

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дано:Тре­уголь­ник АВС, АВ=с, CA=b, BC=a.

Найти: Ме­ди­а­ну А=  тре­уголь­ни­ка АВС.

Ре­ше­ние:

Про­ве­дём пря­мую = (рис. 7). По­лу­чи­ли че­ты­рёх­уголь­ник ABDC. До­ка­жем, что он па­рал­ле­ло­грамм.

В этом че­ты­рёх­уголь­ни­ке диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, сле­до­ва­тель­но, этот че­ты­рёх­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. По­это­му вос­поль­зу­ем­ся свой­ством па­рал­ле­ло­грам­ма:

 

По­лу­чи­ли урав­не­ние для ис­ко­мой ме­ди­а­ны:

 

Ответ: 

 

 Задача 5 с использованием теоремы о площади треугольника

До­ка­жи­те:

1. Ме­ди­а­на рас­се­ка­ет тре­уголь­ник на 2 рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка. Рав­но­ве­ли­ких – зна­чит, име­ю­щих оди­на­ко­вую, рав­ную пло­щадь.

2. Три ме­ди­а­ны рас­се­ка­ют тре­уголь­ник на 6 рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ков.

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Дано: тре­уголь­ник АВС,  – се­ре­ди­ны сто­рон (рис. 8)

До­ка­зать: 1.,

2. .

До­ка­за­тель­ство:

 – ме­ди­а­ны, сле­до­ва­тель­но, ис­поль­зуя свой­ства ме­ди­а­ны, имеем:

1. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки   (рис. 9). Каж­дый из них имеет сто­ро­ну  и оди­на­ко­вую вы­со­ту h. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь каж­до­го:

,

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, по­это­му пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков  равны

по­ло­вине пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС. Сле­до­ва­тель­но, ме­ди­а­на рас­се­ка­ет тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка.

2. Рас­смот­рим тре­уголь­ник : угол γ – угол между сто­ро­на­ми , где .

 

 

Най­дём от­но­ше­ние этих пло­ща­дей:

           

 =  =  

Сле­до­ва­тель­но:

 

А так как:

,

То:

По­лу­ча­ем, что ме­ди­а­ны рас­се­ка­ют тре­уголь­ник на 6 рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ков.

 Подведение итогов

На дан­ном уроке мы по­вто­ри­ли тео­рию по теме со­от­но­ше­ние сто­рон и углов в тре­уголь­ни­ке и ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи по дан­ной теме.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/reshenie-zadach-po-teme-razdela-2

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/prosteyshie-zadachi-po-teme-razdela

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/reshenie-zadach-po-teme-razdela-prodolzhenie-1

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/reshenie-zadach-po-teme-razdela-prodolzhenie-2

http://www.youtube.com/watch?v=fhwGqRo-PPw

http://www.youtube.com/watch?v=DIeo71CR4fY

http://www.youtube.com/watch?v=69J1RSCTo9E

Файлы