9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

Угол между векторами.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Угол между векторами.

Комментарии преподавателя

Повторение определения синуса и косинуса для угла от 0 до 180

Повторение теории начнем с перечня основных теорем.

Рис. 1. Иллюстрация к теоремам

1. Площадь треугольника:

,

площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

2. Теорема синусов и следствие из неё:

,

сторона а относится к синусу противолежащего угла α так же, как сторона b относится к синусу противолежащего угла β так же, как сторона с относится к синусу своего противолежащего угла γ. Все эти отношения равны 2R, где R – это радиус описанной окружности.

Чтобы найти радиус, достаточно знать сторону и синус противолежащего угла.

3. Теорема косинусов:

,

квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

В основных теоремах фигурирует синус и косинус угла треугольника. Но угол треугольника может быть тупым. Поэтому вспомним определение синуса и косинуса для угла .

На рисунке 2 изображена полуокружность радиусом 1, угол α острый, точка М соответствует этому углу. У точки М есть две координаты ().

Можно дать определение синуса и косинуса. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделенный на рис. 2) с гипотенузой 1. Синусом угла называется отношение катета противолежащего к гипотенузе, т. е. это, ордината точки М. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, т. е. , абсцисса точки М.

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

На рисунке 3 угол α тупой. У точки М есть две координаты ().

Следовательно, , т. е. абсцисса точки, а , то есть ордината точки. Таким образом, мы распространили синус и косинус угла от 0 до 180 градусов.

Исходя из этого, координаты какой-либо точки А будут следующими:

Задача 1- решение треугольника с помощью теоремы синусов

Дано: в треугольнике АВС сторона АВ=8см, угол А=, угол В= (рис. 4).

Найти: сторону АС и ВС, угол С, то есть решить треугольник.

Решение:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Так как сумма углов треугольника равна , угол С равен минус 2 известных угла:

С=

Все углы известны.

Далее используем теорему синусов:

, где 8 – длина стороны АВ, то есть стороны с.

Получили уравнение относительно a

а=

=

Сторона ВС4 см

По теореме синусов находим сторону b=AC

b

Сторона АС6 см

Ответ: угол С=105, сторона ВС4 см, сторона АС6 см.

Треугольники входят в состав многих фигур, например трапеций, параллелограммов. Поэтому решение треугольников позволяет решать задачи с этими фигурами.

Задача 2 - нахождение диагоналей параллелограмма с помощью теоремы косинусов

Дано: смежные стороны параллелограмма равны а и b, один из углов равен γ (рис. 5).

Найти: диагонали параллелограмма.

Решение:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

АВСD – параллелограмм, сторона АВ=b, сторона AD=a, угол γ – угол между сторонами a и b (рис. 5). Следовательно, треугольник ABD задан полностью. Найти BD и AC.

Решение данной задачи для параллелограмма полностью основано на теореме косинусов для треугольника. Диагональ BD входит в треугольник АВD. В этом треугольнике известны две стороны и угол между ними. Следовательно:

Одна диагональ найдена.

Вторая диагональ АС входит в треугольник АСD. Используем свойство параллелограмма. Противоположные стороны параллелограмма равны. AB=CD=b. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180º. Cледовательно, ∠ADC=180.

Применяем теорему косинусов для треугольника ACD:

AC=

Задача решена.

Теорема косинусов для треугольника позволяет вывести важное метрическое свойство для параллелограмма.

Задача 3 – доказательство метрического свойства для параллелограмма с помощью теоремы косинусов

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Дано: ABCD-параллелограмм, =BD и =AC - его диагонали, a=BC=AD и b=AB=DC – cтороны параллелограмма, ∠BAD=γ, ∠ADC=180 (рис. 6).

Доказать:

Доказательство:

Найдём из треугольника ABD, то есть выпишем для этого треугольника теорему косинусов. найдём из треугольника ADC, также выписав для него теорему косинусов.

,

Складываем два равенства:

Задача решена, свойство доказано.

Из предыдущей задачи мы увидели, что свойство треугольника позволяет решать задачи для параллелограмма и даже устанавливает свойство параллелограмма. Это свойство параллелограмма позволяет решать задачи для треугольника.

Задача 4 – нахождение медианы треугольника с помощью свойства параллелограмма

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Дано:Треугольник АВС, АВ=с, CA=b, BC=a.

Найти: Медиану А= треугольника АВС.

Решение:

Проведём прямую = (рис. 7). Получили четырёхугольник ABDC. Докажем, что он параллелограмм.

В этом четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, этот четырёхугольник – параллелограмм. Поэтому воспользуемся свойством параллелограмма: