9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние задач по теме «Синус, ко­си­нус, тан­генс угла»

 1. Введение

На­пом­ним, угол опре­де­ля­ет един­ствен­ную точку М (хα; уα) на еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти. На Рис. 1 пред­став­ле­на еди­нич­ная по­лу­окруж­ность, она опи­сы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Рис. 1

, пер­вое из этих вы­ра­же­ний – это вся окруж­ность, а вто­рое огра­ни­чи­ва­ет нас толь­ко верх­ней по­лу­плос­ко­стью.

Так вот, первую ко­ор­ди­на­ту точки М (абс­цис­су) на­зва­ли ко­си­ну­сом угла. Вто­рую ко­ор­ди­на­ту – ор­ди­на­ту – на­зва­ли си­ну­сом угла.

Вот ос­нов­ные опре­де­ле­ния:

М  = M (,).

tg α = ; ctg α = 

Далее вспом­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и ос­нов­ные фор­му­лы. Они здесь вы­пи­са­ны, про­ана­ли­зи­ру­ем их и вспом­ним, от­ку­да они по­лу­чи­лись.

 

, tg α · ctg α = 1 или

 

Во-пер­вых, они по­лу­чи­лись из опре­де­ле­ний.

И во-вто­рых, из урав­не­ния окруж­но­сти.

Если есть Ð α, то ему со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка на окруж­но­сти, и ко­ор­ди­на­ты этой точки на­зва­ли си­ну­сом угла и ко­си­ну­сом угла. Но это точка на еди­нич­ной окруж­но­сти, а любая точка еди­нич­ной окруж­но­сти под­чи­ня­ет­ся урав­не­нию окруж­но­сти ,

х – это ко­си­нус, а у – это синус, зна­чит, для лю­бо­го Ð α. На­пом­ним, мы рас­смат­ри­ва­ем углы из от­рез­ка [0°; 180°].

Рис. 2

Далее вспом­ним (Рис. 2) важ­ные фор­му­лы для ко­ор­ди­нат точки А (хА; уА) 

  α Î [0°; 180°].

Рис. 3

Итак, мы имеем синус, ко­си­нус, тан­генс, ко­тан­генс для тупых углов в том числе, т. е. мы рас­смат­ри­ва­ем углы [0°; 180°]. Но при этом сле­ду­ет уметь вы­чис­лять и синус, и ко­си­нус таких углов. Этому по­мо­га­ют фор­му­лы при­ве­де­ния (Рис. 3). На­пом­ним их:

 

при 0º£α £90º;

По­лез­но вспом­нить зна­че­ние три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций ос­нов­ных ост­рых углов. По­че­му?

Толь­ко что мы ви­де­ли, что по фор­му­лам при­ве­де­ния к ним сво­дят­ся зна­че­ния три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций тупых углов.

 

30°

45°

60°

 sin

 ½

 

 

 cos

 

 

 ½

 tg

 

1

 

 ctg

 

1

 

Итак, мы вспом­ни­ли важ­ную таб­ли­цу для три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций ост­рых углов.

Рас­смот­рен­ная таб­ли­ца и фор­му­лы при­ве­де­ния поз­во­ля­ют ре­шать мно­гие ти­по­вые за­да­чи.

Найти: sin 120°, cos 120°, tg 120°, ctg 120°.

Ре­ше­ние: сна­ча­ла фор­маль­ное ре­ше­ние.

sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° по фор­му­лам при­ве­де­ния, а по таб­ли­це sin 60° = .

Часть за­да­чи ре­ше­на:

cos 120° = cos (180° – 60°) = – cos 60° = – ½ .

Таким об­ра­зом, мы нашли синус и ко­си­нус ту­по­го угла 120°.

Те­перь по­смот­рим и про­ил­лю­стри­ру­ем этот факт на гра­фи­ке.

Рис. 4

Стро­им еди­нич­ную по­лу­окруж­ность, на ней угол 120°. На­пом­ним, что этот угол от­счи­тан про­тив ча­со­вой стрел­ки от по­ло­жи­тель­но­го на­прав­ле­ния оси Ох.

Он вы­се­ка­ет един­ствен­ную точку М2 на еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти.

Вы­яс­ня­ет­ся, что остав­ший­ся угол между от­ри­ца­тель­ной по­лу­осью Ох и лучом ОМ2 равен 60° и еще один угол 60° (между по­ло­жи­тель­ной по­лу­осью Ох и лучом ОМ1). Для угла 60° синус сов­па­да­ет с си­ну­сом 120°, а ко­си­нус 60° и ко­си­нус 120° – это про­ти­во­по­лож­ные числа. Таким об­ра­зом, для дан­ной ти­по­вой за­да­чи мы нашли синус и ко­си­нус 120° и про­ил­лю­стри­ро­ва­ли факт на­хож­де­ния на чер­те­же.

Оста­лось найти тан­генс и ко­тан­генс 120°.

Фор­му­лы из­вест­ны, на­хо­дим:

tg 120° = ;

ctg 120° = 

Ответ:

sin 120° = , cos 120° = - ½ , tg 120° = , ctg 120° = 

За­да­ча ре­ше­на.

Ис­поль­зо­ва­ны и таб­ли­ца, и фор­му­лы при­ве­де­ния.

Сле­ду­ю­щая ти­по­вая за­да­ча. За­да­на одна функ­ция, найти дру­гие функ­ции или дру­гую функ­цию.

За­да­ча. Най­ди­те , если  = ¼ , α Î [0; 180°]. Сна­ча­ла фор­маль­ное ре­ше­ние. Мы имеем ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, ко­то­рое свя­зы­ва­ет между собой и синус, и ко­си­нус: , от­ку­да (Ответ).

Два от­ве­та. От­ку­да они по­яви­лись? Про­ил­лю­стри­ру­ем этот факт на чер­те­же (Рис. 5).

Еди­нич­ная по­лу­окруж­ность, синус ка­ко­го-то угла, неиз­вест­но пока, ка­ко­го, равна ¼. Пер­пен­ди­ку­ляр к линии си­ну­сов (оси ор­ди­нат), про­ве­ден­ный в точке у = ¼, вы­све­чи­ва­ет две точки на еди­нич­ной окруж­но­сти. Двум точ­кам со­от­вет­ству­ют два угла. Один угол α1, вто­рой угол – α2.

Угол α1 имеет , Угол α2 имеет .

Сде­ла­ем такое при­ме­ча­ние: зна­че­ние  = ¼ опре­де­ля­ет два угла – α1 и α2 = 180° – α1 , при­чем

 (си­ну­сы равны од­но­му и тому же числу), а ко­си­ну­сы – раз­ные: 

Рис. 5

В сле­ду­ю­щей за­да­че, на­о­бо­рот, за­да­но зна­че­ние , тре­бу­ет­ся найти зна­че­ние . И по­нять, в чем раз­ни­ца между этой за­да­чей и преды­ду­щей.

За­да­ча. Най­ди­те , если  = , α Î [0; 180°].

 

Рис. 6

Как все­гда, сна­ча­ла фор­маль­ное ре­ше­ние без чер­те­жа:

по ос­нов­но­му три­го­но­мет­ри­че­ско­му тож­де­ству , от­ку­да , два от­ве­та, но вспо­ми­на­ем, что синус ме­ня­ет­ся в пре­де­лах [0; 1], по­это­му вы­би­ра­ем  и по­лу­ча­ем един­ствен­ный ответ.

Те­перь про­ил­лю­стри­ру­ем все это на чер­те­же (Рис. 6).

Как обыч­но, на ри­сун­ке – еди­нич­ная по­лу­окруж­ность, линия ко­си­ну­сов (ось абс­цисс), на ней точки – 1, 0, 1, а у нас абс­цис­са (ко­си­нус) равна .

Пер­пен­ди­ку­ляр вы­све­чи­ва­ет един­ствен­ную точку на еди­нич­ной окруж­но­сти и един­ствен­ный Ðα. Он здесь тупой. Синус тоже имеет един­ствен­ное зна­че­ние. Сфор­му­ли­ру­ем такое при­ме­ча­ние: зна­че­ние опре­де­ля­ет един­ствен­ный ÐαÎ[0°; 180°]. За­да­ча ре­ше­на.

Фор­му­ли­ров­ка сле­ду­ю­щей за­да­чи.

За­да­ча. Най­ди­те угол между лучом ОА и по­ло­жи­тель­ной по­лу­осью Ох, если точка А имеет ко­ор­ди­на­ты ( ; 1 ).

Чер­теж (Рис. 7).

Рис. 7

На ри­сун­ке – точка А (; 1), и надо найти угол, ко­то­рый обо­зна­чим α.

Из­вест­ны ко­ор­ди­на­ты точки А.

Ис­поль­зу­ем спе­ци­фи­ку ис­ход­ных дан­ных при ре­ше­нии (Рис. 8). Рас­смот­рим тре­уголь­ник АОА1.

Рис. 8

Он пря­мо­уголь­ный, и ка­те­ты его из­вест­ны. Пер­вый катет равен 1, вто­рой катет дли­ной .

Сле­до­ва­тель­но, tg ÐАОА1 = угол ÐАОА1 = 30°, ис­ко­мый угол α = 180° – 30° = 150°

Ответ по­лу­чен, но мы про­де­мон­стри­ру­ем дру­гой спо­соб его по­лу­че­ния.

Сна­ча­ла найти длину от­рез­ка АО, ведь ко­ор­ди­на­ты точки А из­вест­ны и ко­ор­ди­на­ты точки О из­вест­ны.

Далее по фор­му­лам для ко­ор­ди­нат точки найти ко­си­нус угла, синус угла. В любом слу­чае спе­ци­фи­ка кон­крет­ных ис­ход­ных дан­ных нам поз­во­ли­ла мгно­вен­но найти угол. За­да­ча ре­ше­на.

Итак, мы по­вто­ри­ли тео­рию по теме «Синус, ко­си­нус, тан­генс угла» и ре­ши­ли ти­по­вые за­да­чи.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/reshenie-zadach-4

http://www.youtube.com/watch?v=7JoPCNRCpkk

http://www.youtube.com/watch?v=3fMPYZIGT2E

http://www.youtube.com/watch?v=nenK66MzkX0

http://www.youtube.com/watch?v=EA-Tki6LkoQ

http://5klass.net/datas/algebra/Trigonometricheskie-funktsii/0007-007-Svojstva-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa.jpg

http://lmenripacha.science/pic-reshak.ru/reshebniki/geometriya/10/wbatanasyan9/images/30.gif

http://fastform.ru/wp-content/uploads/media/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82-%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0-%D0%BF%D0%BE-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83-%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81-%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0/image3.gif

Файлы