9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.
9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.
Комментарии преподавателя
Отношения сторон в прямоугольном треугольнике
Как измерить высоту дерева 
? Как найти расстояние 
до недоступной точки 
, вершины дерева (рис. 1)?
Рис. 1. Наглядный пример из 8 класса о введении тригонометрических функций острого угла
Рис. 2. Прямоугольный треугольник АВС
Пусть задан треугольник 
(рис. 2), a; 
– катеты, 
– гипотенуза, 
– угол.
Единичная полуокружность
Поместим единичную полуокружность в координатную плоскость (рис. 3).
1. Рассмотрим 
, в нем 
, где 
, т. е. это прямоугольный треугольник, угол 
– острый.
Рис. 3. Единичная окружность в координатной плоскости
Синусом угла называется отношение противолежащего катета 
гипотенузе 
:
Но гипотенуза 
, поэтому:
– ордината точки 
:
но , значит:
– абсцисса точки единичной полуокружности.
Синус острого угла – это ордината, а косинус – это абсцисса точки первой четверти.
Точка имеет единственную пару координат 
, 
– это косинус , – синус .
Но абсциссу и ординату имеют все точки полуокружности.
2. Рассмотрим любой 
(рисунок 4), из отрезка 
.
Рис. 4. 
единичной окружности в координатной плоскости
Его луч 
определяет единственную точку 
на полуокружности, ординату 
назовем синусом , а абсциссу 
– его косинусом.
примем, что 
– это отношение 
к 
:
Задача 1
Дано: 
Найти: 
Решение
Рис. 5. Единичная окружность в координатной плоскости
(рис. 5)
По определению, точка 
с координатами (0;1) есть точка с координатами 
:
Примечание: т. к. 
есть 0, то 
не существует:
Ответ:
.
Задача решена.
Задача 2
Дано: 
Найти: 
Решение
Рис. 6. Единичная окружность в координатной плоскости
(рис. 6)
Ответ: 
; 
; 
.
Задача решена.
Свойства единичной полуокружности
Рассмотрим некоторые свойства единичной полуокружности (рис. 7).
Она проецируется на ось 
в отрезок 
, а на ось 
в отрезок 
, отсюда вывод:
Рис. 7. Единичная полуокружность в координатной плоскости
В частности, косинус тупого угла отрицателен.
Основное тригонометрическое тождество
Уравнение единичной окружности с центром в точке 
и 
:
Для 
Именно это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством.
Взаимосвязь тригонометрических функций
Рассмотрим связь тангенса и косинуса.
Если 
, то из основного тригонометрического тождества имеем:
Такова связь между косинусом и тангенсом.
Пусть 
.
Тогда из основного тригонометрического тождества найдем связь между котангенсом и синусом:
Формулы приведения
Проверьте самостоятельно их справедливость с помощью единичной полуокружности.
Вывод
Мы вспомнили, что такое синус, косинус и тангенс для острых углов, узнали, что такое 
для углов от 
до 
, рассмотрели простейшие свойства введённых функций и основные формулы, которые связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс, причем для всех углов от до .
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/sinus-kosinus-i-tangens-ugla-osnovnoe-trigonometricheskoe-tozhdestvo
http://www.youtube.com/watch?v=qRHvcbvV4bU
http://www.youtube.com/watch?v=NltgxlJpddg
http://www.youtube.com/watch?v=aSyQq4KOkHg
http://www.youtube.com/watch?v=3fMPYZIGT2E
http://nsportal.ru/sites/default/files/2015/01/06/sinus_kosinus_i_tangens.pptx
http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/16/15413/img2.jpg
http://5klass.net/datas/algebra/Trigonometricheskie-funktsii/0007-007-Svojstva-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa.jpg
http://math-box.net/wp-content/plugins/download-form/force_download.php?id=186&token=0b3565eedfb35781a1d4c4e15805a63f
http://www.azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/N109/images/geom_9_5.jpg
http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/basic_trigonometric_identities.html
http://onlinegdz.net/test-sinus-kosinus-tangens-kotangens-ugla-geometriya-9-klass-atanasyan/