9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.

Комментарии преподавателя

Фор­му­лы для вы­чис­ле­ния ко­ор­ди­нат точки

 

 1. Введение

Со­от­вет­ству­ю­щая за­да­ча зву­чит про­сто: опре­де­ле­ние ко­ор­ди­нат точки А, рас­по­ло­жен­ной в верх­ней ко­ор­ди­нат­ной по­лу­плос­ко­сти (Рис. 1).

Рис. 1.

Ко­ор­ди­на­ты точки А опре­де­ля­ют­ся двумя ве­ли­чи­на­ми: дли­ной от­рез­ка ОА и Ðα = ÐВОА (Рис. 2). Ко­ор­ди­на­ты точки А (х; у) сле­ду­ет вы­чис­лить через длину ОА и неко­то­рую функ­цию от Ðα.

Рис. 2.

Мы знаем, что Ðα за­да­ет ко­ор­ди­на­ты, со­от­вет­ству­ю­щие точке М на еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти, а зна­чит, и ко­ор­ди­на­ты век­то­ра ОМ.

Рис. 3.

Дей­стви­тель­но, луч ОА вы­се­ка­ет един­ствен­ную точку на окруж­но­сти М (Рис. 3). Ее ко­ор­ди­на­ты на окруж­но­сти М (хм; ум) та­ко­вы, что пер­вая из них есть cos α,  а вто­рая – sin α. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра ОМ сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки М. На­пом­ним, нам нужны ко­ор­ди­на­ты точки А.

Оста­лось вы­ра­зить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра ОА и ко­ор­ди­на­ты точки А через ко­ор­ди­на­ты век­то­ра ОМ (Рис. 4)

Рис. 4.

За­ме­ча­ем, что  и   – кол­ли­не­ар­ные. Кроме того, ОМ = 1.

Что это озна­ча­ет? Это озна­ча­ет, что  по­лу­ча­ет­ся из , если по­след­ний умно­жить на длину от­рез­ка ОА. (Как мы знаем, любой век­тор, кол­ли­не­ар­ный дан­но­му, может быть по­лу­чен из дан­но­го путем умно­же­ния на число.)

Но ко­ор­ди­на­ты точки А (хА; уА) и ко­ор­ди­на­ты  (,) сов­па­да­ют, сле­до­ва­тель­но .

За­да­ча ре­ше­на.

Те­перь про­ана­ли­зи­ру­ем знаки ко­ор­ди­нат точки А.

Эти ко­ор­ди­на­ты за­ви­сят от двух ве­ли­чин. Во-пер­вых, от рас­сто­я­ния до точки О эта ве­ли­чи­на все­гда неот­ри­ца­тель­на. Во-вто­рых, от си­ну­са и ко­си­ну­са.

Вспом­ним знаки си­ну­са и ко­си­ну­са.

Если мы имеем Ðα, ему со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка М на еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти. Абс­цис­са точки М даст ко­си­нус Ðα, а ор­ди­на­та точки даст синус Ðα.

Из этих опре­де­ле­ний вы­те­ка­ет, что если Ðα ме­ня­ет­ся в пре­де­лах [0°; 180°], то  – ве­ли­чи­на неот­ри­ца­тель­ная и ме­ня­ет­ся в пре­де­лах от [0; 1].

 ме­ня­ет­ся в пре­де­лах [–1; 1], т. е. может быть как по­ло­жи­тель­ным, так и от­ри­ца­тель­ным. Он яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­ным, когда угол ме­ня­ет­ся в пре­де­лах [0; 90°]. И ко­си­нус от­ри­ца­те­лен, если угол ме­ня­ет­ся в пре­де­лах [90°; 180°].

Зна­чит, пра­ви­ла та­ко­вы:

1. , т. к.   Î [0; 1], если α Î [0°;180°].

2.  при α Î [0°; 90°], т. к. в этом слу­чае  Î [0; 1].

3.  при α Î [90°; 180°], т. к. в этом слу­чае  Î [-1; 0].

Таким об­ра­зом, мы вы­ве­ли фор­му­лы для ко­ор­ди­нат точки А и про­ана­ли­зи­ро­ва­ли знаки этих ко­ор­ди­нат.

Те­перь решим ти­по­вые за­да­чи на ис­поль­зо­ва­ние по­лу­чен­ных фор­мул.

За­да­ча 1. Угол между лучом ОА, пе­ре­се­ка­ю­щим еди­нич­ную по­лу­окруж­ность, и по­ло­жи­тель­ной по­лу­осью Ох равен α.

Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точки А, если ОА = 3, α  =  45°.

Рис. 5.

Ре­ше­ние. 

Об­ра­тим­ся к Рис. 5. 

На этом ри­сун­ке изоб­ра­же­на точка А и по­ка­за­ны ее ко­ор­ди­на­ты. При­ме­няя по­лу­чен­ные ранее фор­му­лы, за­пи­шем:  =  = . За­да­ча ре­ше­на.

 

 

Рис. 6.

Вто­рая за­да­ча от­ли­ча­ет­ся от пер­вой лишь ме­сто­рас­по­ло­же­ни­ем точки А (Рис. 6)

За­да­ча 2. Угол между лучом ОА, пе­ре­се­ка­ю­щим еди­нич­ную по­лу­окруж­ность, и по­ло­жи­тель­ной по­лу­осью Ох равен α. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точки А, если ОА =1,5, α  =  90°.

Ре­ше­ние.

После того как будет сде­лан Рис. 6, ре­ше­ние ста­но­вит­ся оче­вид­ным: ко­ор­ди­на­ты точки А  это (0; 1,5).

Но тем не менее вос­поль­зу­ем­ся вы­ве­ден­ны­ми фор­му­ла­ми.

 =  = .

За­да­ча 3. В сле­ду­ю­щей 3 за­да­че точка А рас­по­ло­же­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

нам дано, что ОА = 5; α = 150°. Сле­ду­ет найти ко­ор­ди­на­ты точки.

Ре­ше­ние. Для на­гляд­но­сти изоб­ра­зим Рис. 7.

Рис. 7.

Для ре­ше­ния снова вос­поль­зу­ем­ся по­лу­чен­ны­ми фор­му­ла­ми:  =  =  =  =  =  = . Здесь мы вос­поль­зо­ва­лись фор­му­ла­ми при­ве­де­ния.

Рис. 8.

В сле­ду­ю­щей за­да­че (Рис. 8) точка А лежит на оси х.

За­да­ча 4. Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точки А, если ОА = 1; α = 180°.

В об­щем-то, ре­ше­ние оче­вид­но: А (–1; 0), но важно вспом­нить ос­нов­ные фор­му­лы, а в них при­сут­ству­ют синус и ко­си­нус 180°.

 = 

 = 0.

Рис. 9.

По­след­няя за­да­ча: α = 30°; ОА = 2. Рис. 9 по­яс­ня­ет ска­зан­ное. Найти  ко­ор­ди­на­ты точки А.

Ре­ше­ние.

Со­глас­но общим фор­му­лам,

 = 

 = 1.

Мы вы­ве­ли фор­му­лы для опре­де­ле­ния ко­ор­ди­нат точки, при этом ис­поль­зо­ва­ли и синус, и ко­си­нус угла.

 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/formuly-dlya-vychisleniya-koordinat-tochki

http://www.youtube.com/watch?v=68YoB5w3klM

http://www.youtube.com/watch?v=skyxOOxZzno

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/14/635742771.jpg

http://festival.1september.ru/articles/596417/presentation/pril.ppt

http://youclever.org/book/sinus-kosinus-tangens-i-kotangens-ugla-i-chisla-1

http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/values_of_sin_cos_tg_ctg.html

http://youclever.org/book/sinus-kosinus-tangens-i-kotangens-ugla-i-chisla-1

http://www.webstaratel.ru/2010/04/blog-post_21.html

Файлы