9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла.

Синус – это...

Комментарии преподавателя

 Отношения сторон в прямоугольном треугольнике

Как из­ме­рить вы­со­ту де­ре­ва ? Как найти рас­сто­я­ние  до недо­ступ­ной точки , вер­ши­ны де­ре­ва (рис. 1)?

Рис. 1. На­гляд­ный при­мер из 8 клас­са о вве­де­нии три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций остро­го угла

Рис. 2. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС

Пусть задан тре­уголь­ник  (рис. 2), a;  – ка­те­ты,  – ги­по­те­ну­за,  – угол.

 Единичная полуокружность

По­ме­стим еди­нич­ную по­лу­окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ную плос­кость (рис. 3).

1. Рас­смот­рим , в нем , где , т. е. это пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, угол  – ост­рый.

Рис. 3. Еди­нич­ная окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

Си­ну­сом угла  на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го катета  ги­по­те­ну­зе :

Но ги­по­те­ну­за , по­это­му:

 – ор­ди­на­та точки :

но , зна­чит:

 – абс­цис­са точки  еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти.

Синус остро­го угла – это ор­ди­на­та, а ко­си­нус – это абс­цис­са точки  пер­вой чет­вер­ти.

Точка  имеет един­ствен­ную пару ко­ор­ди­нат – это ко­си­нус  – синус .

Но абс­цис­су и ор­ди­на­ту имеют все точки по­лу­окруж­но­сти.

2. Рас­смот­рим любой  (ри­су­нок 4), из от­рез­ка .

Рис. 4.  еди­нич­ной окруж­но­сти в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

Его луч  опре­де­ля­ет един­ствен­ную точку  на по­лу­окруж­но­сти, ор­ди­на­ту  на­зо­вем си­ну­сом , а абс­цис­су  – его ко­си­ну­сом.

при­мем, что  – это от­но­ше­ние  к :

 Задача 1

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

Рис. 5. Еди­нич­ная окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

(рис. 5)

По опре­де­ле­нию, точка  с ко­ор­ди­на­та­ми (0;1) есть точка  с ко­ор­ди­на­та­ми :

При­ме­ча­ние: т. к.  есть 0, то  не су­ще­ству­ет:

Ответ:.

За­да­ча ре­ше­на.

 Задача 2

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

Рис. 6. Еди­нич­ная окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

(рис. 6)

Ответ: .

За­да­ча ре­ше­на.

 Свойства единичной полуокружности

Рас­смот­рим неко­то­рые свой­ства еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти (рис. 7).

Она про­еци­ру­ет­ся на ось  в от­ре­зок , а на ось  в от­ре­зок , от­сю­да вывод:

Рис. 7. Еди­нич­ная по­лу­окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

В част­но­сти, ко­си­нус ту­по­го угла от­ри­ца­те­лен.

 Основное тригонометрическое тождество

Урав­не­ние еди­нич­ной окруж­но­сти с цен­тром в точке  и :

Для 

Имен­но это со­от­но­ше­ние на­зы­ва­ют ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством.

 Взаимосвязь тригонометрических функций

Рас­смот­рим связь тан­ген­са и ко­си­ну­са.

Если , то из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства имеем:

Та­ко­ва связь между ко­си­ну­сом и тан­ген­сом.

Пусть .

Тогда из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства най­дем связь между ко­тан­ген­сом и си­ну­сом:

 Формулы приведения

Про­верь­те са­мо­сто­я­тель­но их спра­вед­ли­вость с по­мо­щью еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти.

Вывод

Мы вспом­ни­ли, что такое синус, ко­си­нус и тан­генс для ост­рых углов, узна­ли, что такое  для углов от  до , рас­смот­ре­ли про­стей­шие свой­ства вве­дён­ных функ­ций и ос­нов­ные фор­му­лы, ко­то­рые свя­зы­ва­ют между собой синус, ко­си­нус, тан­генс и ко­тан­генс, при­чем для всех углов от  до .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/sinus-kosinus-i-tangens-ugla-osnovnoe-trigonometricheskoe-tozhdestvo

http://www.youtube.com/watch?v=qRHvcbvV4bU

http://www.youtube.com/watch?v=NltgxlJpddg

http://www.youtube.com/watch?v=aSyQq4KOkHg

http://www.youtube.com/watch?v=3fMPYZIGT2E

http://nsportal.ru/sites/default/files/2015/01/06/sinus_kosinus_i_tangens.pptx

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/16/15413/img2.jpg

http://5klass.net/datas/algebra/Trigonometricheskie-funktsii/0007-007-Svojstva-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa.jpg

http://math-box.net/wp-content/plugins/download-form/force_download.php?id=186&token=0b3565eedfb35781a1d4c4e15805a63f

http://www.azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/N109/images/geom_9_5.jpg

http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/basic_trigonometric_identities.html

http://onlinegdz.net/test-sinus-kosinus-tangens-kotangens-ugla-geometriya-9-klass-atanasyan/

Файлы