11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

Вписанный в конус шар (или сфера, вписанная в конус) касается основания конуса ...

Комментарии преподавателя

 Цилиндр, вписанный в сферу (шар)

Го­во­рят, что ци­линдр впи­сан в шар (сферу), если каж­дое его ос­но­ва­ние лежит на сфере дан­но­го шара (рис. 1). Любой ци­линдр может быть впи­сан в шар.

Так как ос­но­ва­ния ци­лин­дра имеют рав­ный ра­ди­ус, то рас­сто­я­ние от цен­тра до их плос­ко­стей оди­на­ко­во, а зна­чит, в силу их па­рал­лель­но­сти, центр на­хо­дит­ся в се­ре­дине вы­со­ты ци­лин­дра (рис. 2).

Рис. 1. Ци­линдр, впи­сан­ный в шар

Рис. 2. Ци­линдр, впи­сан­ный в шар

 Задача №1

Усло­вие: ци­линдр, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 6 см, впи­сан в шар ра­ди­у­са 10 см. Найти вы­со­ту ци­лин­дра (рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Ре­ше­ние

Пусть центр шара – , про­ек­ция его на ос­но­ва­ние ци­лин­дра – , точка на гра­ни­це этого ос­но­ва­ния – . Тогда из тре­уголь­ни­ка   (ра­ди­ус шара),  (ра­ди­ус ци­лин­дра), зна­чит,  («еги­пет­ский» тре­уголь­ник). Но это по­ло­ви­на вы­со­ты, а зна­чит, ис­ко­мая вы­со­та – 16 см.

Ответ: 16 см.

 Шар, вписанный в цилиндр

Го­во­рят, что шар (сфера) впи­сан в ци­линдр, если он ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний ци­лин­дра и его бо­ко­вой по­верх­но­сти (рис. 4).

 

Рис. 4. Шар, впи­сан­ный в ци­линдр

1.      Так как шар ка­са­ет­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти, то в со­от­вет­ству­ю­щем се­че­нии дол­жен по­лу­чить­ся круг, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен ра­ди­у­су шара. А зна­чит, ра­ди­ус ци­лин­дра равен ра­ди­у­су шара (рис. 5).

2.       Вы­со­та долж­на быть равна диа­мет­ру шара (рис. 6).

Рис. 5. Шар, впи­сан­ный в ци­линдр

Рис. 6. Шар, впи­сан­ный в ци­линдр

Таким об­ра­зом, со­всем не любой ци­линдр может быть опи­сан около шара, для этого нужно, чтобы его вы­со­та была вдвое боль­ше ра­ди­у­са ос­но­ва­ния.

 Задача №2

Усло­вие: шар впи­сан в ци­линдр. Во сколь­ко раз пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти шара?

Ре­ше­ние

Ра­ди­ус ци­лин­дра равен ра­ди­у­су шара, а вы­со­та ци­лин­дра – диа­мет­ру шара.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна .

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра есть  ().

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно .

Ответ: 1,5.

 Призма, вписанная в шар

Приз­ма на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ной в шар (сферу), если все ее вер­ши­ны лежат на по­верх­но­сти шара (рис. 7). В даль­ней­шем рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко пря­мые приз­мы.

Рис. 7. Приз­ма, впи­сан­ная в шар

Ана­ло­гич­но ци­лин­дру, центр опи­сан­но­го шара будет на­хо­дить­ся в цен­тре вы­со­ты приз­мы.

Пря­мую приз­му можно впи­сать в шар тогда и толь­ко тогда, когда ее ос­но­ва­ние можно впи­сать в окруж­ность. Как след­ствие, любую тре­уголь­ную приз­му (рис. 8), а также любую пра­виль­ную приз­му (рис. 9) можно впи­сать в шар.

Рис. 8. Тре­уголь­ная приз­ма, впи­сан­ная в шар

Рис. 9. Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма, впи­сан­ная в шар

Че­ты­рех­уголь­ную приз­му можно впи­сать в шар, если ее ос­но­ва­ние яв­ля­ет­ся впи­сан­ным че­ты­рех­уголь­ни­ком, т. е. сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180 гра­ду­сов (рис. 10).

Рис. 10. Че­ты­рех­уголь­ная приз­ма, впи­сан­ная в шар

 Шар, вписанный в призму

Го­во­рят, что шар впи­сан в приз­му, если он ка­са­ет­ся всех ее гра­ней (рис. 11).

Рис. 11. Шар, впи­сан­ный в приз­му

Ана­ло­гич­но ци­лин­дру вы­со­та приз­мы также равна диа­мет­ру шара.

Ра­ди­ус шара равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние приз­мы.

Итак, впи­сать шар в приз­му можно толь­ко тогда, когда ее вы­со­та вдвое боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние.

 Задача №3

Усло­вие: дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6. Из­вест­но, что в нее можно впи­сать шар и около нее можно опи­сать шар. Найти от­но­ше­ние их ра­ди­у­сов (рис. 12).

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

Ре­ше­ние

Нач­нем со впи­сан­но­го шара. Его ра­ди­ус сов­па­да­ет с ра­ди­у­сом окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ос­но­ва­ния. Этот ра­ди­ус равен , то есть . Но тогда вы­со­та приз­мы равна .

Далее, центр опи­сан­но­го шара на­хо­дит­ся в се­ре­дине вы­со­ты, то есть рас­сто­я­ние от него до плос­ко­сти ос­но­ва­ния равно . Пусть центр этого шара , центр ос­но­ва­ния – . Тогда  (как ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти, на­при­мер). И зна­чит,  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно .

Ответ: .

 

 Разветвление: задача №4

Усло­вие: пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма впи­са­на в шар ра­ди­у­са 13. Вы­со­та приз­мы равна 24. Найти пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы (рис. 13).

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 4

Рис. 14. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 4

Ре­ше­ние

Ра­зу­ме­ет­ся, до­ста­точ­но найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния. Пусть  – центр шара,  – центр ос­но­ва­ния  приз­мы (рис. 14). Тогда , а зна­чит,  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

Как из­вест­но, ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, равен его сто­роне. Зна­чит, сто­ро­на приз­мы – 5.

Най­дем пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти –  Ос­но­ва­ние приз­мы со­сто­ит из 6 рав­ных рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной 5 (и таких ос­но­ва­ний 2, итого, 12 тре­уголь­ни­ков). Зна­чит, сум­мар­ная пло­щадь ос­но­ва­ний равна .

Ответ: .

 Пирамида, вписанная в шар

Шар на­зы­ва­ют опи­сан­ным около пи­ра­ми­ды, если все вер­ши­ны пи­ра­ми­ды при­над­ле­жат по­верх­но­сти шара. Пи­ра­ми­ду в этом слу­чае на­зы­ва­ют впи­сан­ной в шар (рис. 1).

Рис. 1. Пи­ра­ми­да, впи­сан­ная в шар

Рис. 2. Пи­ра­ми­да, впи­сан­ная в шар

Неслож­но за­ме­тить, что вер­ши­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды лежат в одной плос­ко­сти, зна­чит, они долж­ны при­над­ле­жать одной окруж­но­сти опи­сан­но­го шара. Таким об­ра­зом, необ­хо­ди­мым усло­ви­ем для того, чтобы впи­сать пи­ра­ми­ду в шар, яв­ля­ет­ся то, что мно­го­уголь­ник ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся впи­сан­ным (рис. 2).

До­ка­жем, что это яв­ля­ет­ся также и до­ста­точ­ным усло­ви­ем.

 Разветвление: доказательство

За­ме­тим, что если ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды можно впи­сать в окруж­ность, то ГМТ рав­но­уда­лен­ных от вер­шин ос­но­ва­ния – пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, про­ве­ден­ный через центр опи­сан­ной окруж­но­сти (рис. 3). Оста­лось найти на этой пря­мой точку, ко­то­рая рав­но­уда­ле­на от вер­шин ос­но­ва­ния и от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Для этого рас­смот­рим любую вер­ши­ну  ос­но­ва­ния и вер­ши­ну  пи­ра­ми­ды. ГМТ точек, рав­но­уда­лен­ных от них, – плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну  пер­пен­ди­ку­ляр­но ему. Но эта плос­кость не может быть па­рал­лель­на пер­пен­ди­ку­ля­ру к плос­ко­сти ос­но­ва­ния – в про­тив­ном слу­чае, точка  ле­жа­ла бы в ос­но­ва­нии (рис. 4). Зна­чит, усло­вие впи­сан­но­сти ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся необ­хо­ди­мым и до­ста­точ­ным.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Любая тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, а также любая пра­виль­ная пи­ра­ми­да могут быть впи­са­ны в шар.

 Задача №1

Усло­вие. Найти ра­ди­ус шара, в ко­то­рый впи­са­на пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, все ребра ко­то­рой равны 2 (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Рис. 6. Тре­уголь­ник 

Ре­ше­ние

Рас­смот­рим пи­ра­ми­ду , все ребра ко­то­рой равны 2. Пусть  – центр ос­но­ва­ния,  – центр шара. Тогда оче­вид­но, что  лежит на , при­чем . И пусть  – се­ре­ди­на .

Рас­смот­рим плос­кость  (рис. 6). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка  вы­со­та  равна , а тогда . Далее най­дем  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  .

Пусть . Тогда ;  

.

Решим урав­не­ние: ;

Оста­лось за­ме­тить, что ра­ди­ус шара равен , то есть:

.

Ответ: 

 Шар, вписанный в пирамиду

Шар на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным в пи­ра­ми­ду, если он ка­са­ет­ся плос­ко­стей всех гра­ней пи­ра­ми­ды (рис. 7).

Рис. 7. Шар, впи­сан­ный в пи­ра­ми­ду

В любую тре­уголь­ную (рис. 8) и любую пра­виль­ную пи­ра­ми­ду можно впи­сать шар, при­чем его центр будет ле­жать на вы­со­те пи­ра­ми­ды, а точки ка­са­ния с бо­ко­вы­ми гра­ня­ми – на апо­фе­мах (рис. 9).

Рис. 8. Шар, впи­сан­ный в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду

Рис. 9. Шар, впи­сан­ный в пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду

 Задача №2

Усло­вие: найти ра­ди­ус шара, впи­сан­но­го в пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду , сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 10, а бо­ко­вое ребро – 13 (рис. 10). 

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Рис. 11. Тре­уголь­ник 

Ре­ше­ние

Пусть  – центр шара,  – центр ос­но­ва­ния,  – се­ре­ди­на  – се­ре­ди­на . В силу сфор­му­ли­ро­ван­но­го утвер­жде­ния  лежит на . Рас­смот­рим тре­уголь­ник . По усло­вию рас­сто­я­ния от точки  до  и  долж­ны быть рав­ны­ми – это и есть ра­ди­у­сы шара. Таким об­ра­зом,  – про­сто центр впи­сан­ной окруж­но­сти в тре­уголь­ник , ра­ди­ус этой окруж­но­сти и надо найти (рис. 11).

Оче­вид­но,  из тре­уголь­ни­ка  равно 12 (в силу тео­ре­мы Пи­фа­го­ра).

Тогда .

Зна­чит 

Ответ: .

 Заключение

На уроке мы разо­бра­ли ком­би­на­ции шара, приз­мы,  ци­лин­дра и  пи­ра­ми­ды, а также ре­ши­ли за­да­чи на на­хож­де­ние ра­ди­у­сов впи­сан­но­го и опи­сан­но­го шара.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/kombinatsiya-shara-i-tsilindra

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/kombinatsiya-shara-i-piramidy

http://www.youtube.com/watch?v=LuKP1s7VLss

http://www.youtube.com/watch?v=P7_5qWj2BZM

http://www.youtube.com/watch?v=BjtAVlNmtGE

https://www.youtube.com/watch?v=UVukKUD2Sfk

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/09/30/kombinatsii_shara_s_.doc

http://cs7004.vk.me/c7006/v7006056/118db/6ebr4S1_lWc.jpg

http://cs14112.vk.me/c7006/v7006056/118fb/e2bNgVRz0ac.jpg

http://ppt4web.ru/images/111/7601/640/img3.jpg

http://5klass.net/datas/geometrija/Zadachi-po-geometrii-11-klass/0013-013-Izmerenija-prjamougolnogo-parallelepipeda.jpg

http://takya.ru/download/dlya-togo-chtobi-okolo-piramidi-mojno-bilo-opisate-sferu-neobh.doc

http://fs.nashaucheba.ru/tw_files2/urls_3/1132/d-1131348/img8.jpg

http://www.uznateshe.ru/prizma-vpisana-v-shar/

http://festival.1september.ru/articles/633696/presentation/pril.ppt

Файлы