11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

Комбинации тел вращения и многогранников.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Комбинации тел вращения и многогранников.

Комментарии преподавателя

Цилиндр, вписанный в сферу (шар)

Говорят, что цилиндр вписан в шар (сферу), если каждое его основание лежит на сфере данного шара (рис. 1). Любой цилиндр может быть вписан в шар.

Так как основания цилиндра имеют равный радиус, то расстояние от центра до их плоскостей одинаково, а значит, в силу их параллельности, центр находится в середине высоты цилиндра (рис. 2).


Рис. 1. Цилиндр, вписанный в шар	Рис. 2. Цилиндр, вписанный в шар

Задача №1

Условие: цилиндр, радиус основания которого равен 6 см, вписан в шар радиуса 10 см. Найти высоту цилиндра (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Пусть центр шара – , проекция его на основание цилиндра – , точка на границе этого основания – . Тогда из треугольника (радиус шара), (радиус цилиндра), значит, («египетский» треугольник). Но это половина высоты, а значит, искомая высота – 16 см.

Ответ: 16 см.

Шар, вписанный в цилиндр

Говорят, что шар (сфера) вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра и его боковой поверхности (рис. 4).

Рис. 4. Шар, вписанный в цилиндр

1. Так как шар касается боковой поверхности, то в соответствующем сечении должен получиться круг, радиус которого равен радиусу шара. А значит, радиус цилиндра равен радиусу шара (рис. 5).

2. Высота должна быть равна диаметру шара (рис. 6).


Рис. 5. Шар, вписанный в цилиндр	Рис. 6. Шар, вписанный в цилиндр

Таким образом, совсем не любой цилиндр может быть описан около шара, для этого нужно, чтобы его высота была вдвое больше радиуса основания.

Задача №2

Условие: шар вписан в цилиндр. Во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше площади поверхности шара?

Решение

Радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра – диаметру шара.

Площадь поверхности шара равна .

Площадь полной поверхности цилиндра есть ().

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: 1,5.

Призма, вписанная в шар

Призма называется вписанной в шар (сферу), если все ее вершины лежат на поверхности шара (рис. 7). В дальнейшем рассматриваются только прямые призмы.

Рис. 7. Призма, вписанная в шар

Аналогично цилиндру, центр описанного шара будет находиться в центре высоты призмы.

Прямую призму можно вписать в шар тогда и только тогда, когда ее основание можно вписать в окружность. Как следствие, любую треугольную призму (рис. 8), а также любую правильную призму (рис. 9) можно вписать в шар.


Рис. 8. Треугольная призма, вписанная в шар	Рис. 9. Правильная шестиугольная призма, вписанная в шар

Четырехугольную призму можно вписать в шар, если ее основание является вписанным четырехугольником, т. е. сумма его противоположных углов равна 180 градусов (рис. 10).

Рис. 10. Четырехугольная призма, вписанная в шар

Шар, вписанный в призму

Говорят, что шар вписан в призму, если он касается всех ее граней (рис. 11).

Рис. 11. Шар, вписанный в призму

Аналогично цилиндру высота призмы также равна диаметру шара.

Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Итак, вписать шар в призму можно только тогда, когда ее высота вдвое больше радиуса окружности, вписанной в основание.

Задача №3

Условие: дана правильная треугольная призма, сторона основания которой равна 6. Известно, что в нее можно вписать шар и около нее можно описать шар. Найти отношение их радиусов (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Начнем со вписанного шара. Его радиус совпадает с радиусом окружности, вписанной в треугольник основания. Этот радиус равен , то есть . Но тогда высота призмы равна .

Далее, центр описанного шара находится в середине высоты, то есть расстояние от него до плоскости основания равно . Пусть центр этого шара , центр основания – . Тогда (как радиус описанной окружности, например). И значит, по теореме Пифагора.

Таким образом, искомое отношение равно .

Ответ: .

Разветвление: задача №4

Условие: правильная шестиугольная призма вписана в шар радиуса 13. Высота призмы равна 24. Найти площадь полной поверхности призмы (рис. 13).


Рис. 13. Иллюстрация к задаче 4	Рис. 14. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Разумеется, достаточно найти сторону основания. Пусть – центр шара, – центр основания призмы (рис. 14). Тогда , , а значит, по теореме Пифагора.

Как известно, радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Значит, сторона призмы – 5.

Найдем площадь ее боковой поверхности – Основание призмы состоит из 6 равных равносторонних треугольников со стороной 5 (и таких оснований 2, итого, 12 треугольников). Значит, суммарная площадь оснований равна .

Ответ: .

Пирамида, вписанная в шар

Шар называют описанным около пирамиды, если все вершины пирамиды принадлежат поверхности шара. Пирамиду в этом случае называют вписанной в шар (рис. 1).


Рис. 1. Пирамида, вписанная в шар	Рис. 2. Пирамида, вписанная в шар

Несложно заметить, что вершины основания пирамиды лежат в одной плоскости, значит, они должны принадлежать одной окружности описанного шара. Таким образом, необходимым условием для того, чтобы вписать пирамиду в шар, является то, что многоугольник основания является вписанным (рис. 2).

Докажем, что это является также и достаточным условием.

Разветвление: доказательство

Заметим, что если основание пирамиды можно вписать в окружность, то ГМТ равноудаленных от вершин основания – перпендикуляр к плоскости основания, проведенный через центр описанной окружности (рис. 3). Осталось найти на этой прямой точку, которая равноудалена от вершин основания и от вершины пирамиды. Для этого рассмотрим любую вершину основания и вершину пирамиды. ГМТ точек, равноудаленных от них, – плоскость, проходящая через середину перпендикулярно ему. Но эта плоскость не может быть параллельна перпендикуляру к плоскости основания – в противном случае, точка лежала бы в основании (рис. 4). Значит, условие вписанности основания является необходимым и достаточным.


Рис. 3. Иллюстрация к доказательству	Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Любая треугольная пирамида, а также любая правильная пирамида могут быть вписаны в шар.

Задача №1

Условие. Найти радиус шара, в который вписана правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны 2 (рис. 5).


Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1	Рис. 6. Треугольник

Решение

Рассмотрим пирамиду , все ребра которой равны 2. Пусть – центр основания, – центр шара. Тогда очевидно, что лежит на , причем . И пусть – середина .

Рассмотрим плоскость (рис. 6). По теореме Пифагора из треугольника высота равна , а тогда . Далее найдем по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике .

Пусть . Тогда ;

.

Решим уравнение: ;

Осталось заметить, что радиус шара равен , то есть:

.

Ответ:

Шар, вписанный в пирамиду

Шар называется вписанным в пирамиду, если он касается плоскостей всех граней пирамиды (рис. 7).

Рис. 7. Шар, вписанный в пирамиду

В любую треугольную (рис. 8) и любую правильную пирамиду можно вписать шар, причем его центр будет лежать на высоте пирамиды, а точки касания с боковыми гранями – на апофемах (рис. 9).


Рис. 8. Шар, вписанный в треугольную пирамиду	Рис. 9. Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду

Задача №2

Условие: найти радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду , сторона основания которой равна 10, а боковое ребро – 13 (рис. 10).


Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2	Рис. 11. Треугольник

Решение

Пусть – центр шара, – центр основания, – середина , – середина . В силу сформулированного утверждения лежит на . Рассмотрим треугольник . По условию расстояния от точки до , и должны быть равными – это и есть радиусы шара. Таким образом, – просто центр вписанной окружности в треугольник , радиус этой окружности и надо найти (рис. 11).