11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

Комментарии преподавателя

 Площадь боковой поверхности конуса

Мы знаем, что такое конус, по­про­бу­ем найти пло­щадь его по­верх­но­сти. Зачем нужно ре­шать такую за­да­чу? На­при­мер, нужно по­нять, сколь­ко теста пой­дет на из­го­тов­ле­ние ва­фель­но­го рожка? Или сколь­ко кир­пи­чей по­на­до­бит­ся, чтобы сло­жить кир­пич­ную крышу замка?

Из­ме­рить пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са про­сто так не по­лу­чит­ся. Но пред­ста­вим себе все тот же рожок, об­мо­тан­ный тка­нью. Чтобы найти пло­щадь куска ткани, нужно раз­ре­зать и раз­ло­жить ее на столе. По­лу­чит­ся плос­кая фи­гу­ра, ее пло­щадь мы смо­жем найти.

Рис. 1. Раз­рез ко­ну­са по об­ра­зу­ю­щей

Сде­ла­ем так же с ко­ну­сом. «Раз­ре­жем» его бо­ко­вую по­верх­ность вдоль любой об­ра­зу­ю­щей, на­при­мер,  (см. рис. 1).

Те­перь «раз­мо­та­ем» бо­ко­вую по­верх­ность на плос­кость. По­лу­ча­ем сек­тор. Центр этого сек­то­ра – вер­ши­на ко­ну­са, ра­ди­ус сек­то­ра равен об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са, а длина его дуги сов­па­да­ет с дли­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са. Такой сек­тор на­зы­ва­ет­ся раз­верт­кой бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са (см. рис. 2).

Рис. 2. Раз­верт­ка бо­ко­вой по­верх­но­сти

Рис. 3. Из­ме­ре­ние угла в ра­ди­а­нах

По­про­бу­ем найти пло­щадь сек­то­ра по име­ю­щим­ся дан­ным. Спер­ва вве­дем обо­зна­че­ние: пусть угол при вер­шине сек­то­ра в ра­ди­а­нах (см. рис. 3).

 Угол при вершине развертки конуса

С углом при вер­шине раз­верт­ки нам при­дет­ся часто стал­ки­вать­ся в за­да­чах. Пока же по­про­бу­ем от­ве­тить на во­прос: а не может ли этот угол по­лу­чить­ся боль­ше 360 гра­ду­сов? То есть не по­лу­чит­ся ли так, что раз­верт­ка на­ло­жит­ся сама на себя? Ко­неч­но же, нет. До­ка­жем это ма­те­ма­ти­че­ски. Пусть раз­верт­ка «на­ло­жи­лась» сама на себя. Это озна­ча­ет, что длина дуги раз­верт­ки боль­ше длины окруж­но­сти ра­ди­у­са . Но, как уже было ска­за­но, длина дуги раз­верт­ки есть длина окруж­но­сти ра­ди­у­са . А ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са, ра­зу­ме­ет­ся, мень­ше об­ра­зу­ю­щей, на­при­мер, по­то­му, что катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше ги­по­те­ну­зы

Тогда вспом­ним две фор­му­лы из курса пла­ни­мет­рии: длина дуги . Пло­щадь сек­то­ра: .

В нашем слу­чае роль  иг­ра­ет об­ра­зу­ю­щая а длина дуги равна длине окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, то есть . Имеем: 

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем: .

 Площадь полной поверхности конуса

На­ря­ду с пло­ща­дью бо­ко­вой по­верх­но­сти можно найти и пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти. Для этого к пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти надо при­ба­вить пло­щадь ос­но­ва­ния. Но ос­но­ва­ние – это круг ра­ди­у­са , чья пло­щадь по фор­му­ле равна .

Окон­ча­тель­но имеем: где  – ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра,  – об­ра­зу­ю­щая.

 Примеры задач на применение выведенных формул

Решим пару задач на при­ве­ден­ные фор­му­лы.

Рис. 4. Ис­ко­мый угол

При­мер 1. Раз­верт­кой бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са яв­ля­ет­ся сек­тор с углом  при вер­шине. Найти этот угол, если вы­со­та ко­ну­са равна 4 см, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 3 см (см. рис. 4).

Рис. 5. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, об­ра­зу­ю­щий конус

Ре­ше­ние

Пер­вым дей­стви­ем, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, най­дем об­ра­зу­ю­щую: 5 см (см. рис. 5). Далее, мы знаем, что .

Ответ: .

При­мер 2. Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са равна , вы­со­та равна . Найти пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти (см. рис. 6).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ции к за­да­че

Ре­ше­ние

 

Тогда, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, .

Ответ: .

 Заключение

Итак, се­год­ня мы по­зна­ко­ми­лись с фор­му­лой бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са и фор­му­лой пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са, также ре­ши­ли пару задач на эти фор­му­лы.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/ploschad-bokovoy-i-polnoy-poverhnosti-konusa

http://www.youtube.com/watch?v=Z9w96vXOjsQ

http://www.youtube.com/watch?v=1CVDfpLtNpM

https://www.youtube.com/watch?v=9EAUcz3c6KI

http://www.studfiles.ru/preview/2225744/

http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-poverxnosti-konusa/

http://www.youtube.com/watch?v=P7_5qWj2BZM

http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=970472

Файлы