11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, ...

Комментарии преподавателя

 Введение

Рис.1. Пред­ме­ты ко­ну­со­вид­ной формы

В мире огром­ное ко­ли­че­ство вещей имеют форму ко­ну­са. За­ча­стую мы их даже не за­ме­ча­ем. До­рож­ные ко­ну­сы, пре­ду­пре­жда­ю­щие о до­рож­ных ра­бо­тах, крыши зам­ков и домов, рожок для мо­ро­же­но­го – все эти пред­ме­ты имеют форму ко­ну­са (см. рис. 1).

 Конус, его элементы и виды конусов

Рис. 2. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник

Рас­смот­рим про­из­воль­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми  и  (см. рис. 2).

Рис. 3. Пря­мой кру­го­вой конус

Вра­щая дан­ный тре­уголь­ник во­круг од­но­го из ка­те­тов (не на­ру­шая общ­но­сти, пусть это будет катет), ги­по­те­ну­за опи­шет по­верх­ность, а катет  опи­шет круг. Таким об­ра­зом, по­лу­чит­ся тело, ко­то­рое на­зы­ва­ют пря­мым кру­го­вым ко­ну­сом (см. рис. 3).

Рис. 4. Виды ко­ну­сов

Раз уж мы го­во­рим о пря­мом кру­го­вом ко­ну­се, ви­ди­мо, су­ще­ству­ет и непря­мой, и не кру­го­вой? Если в ос­но­ва­нии ко­ну­са круг, но вер­ши­на не про­ек­ти­ру­ет­ся в центр этого круга, то такой конус на­зы­ва­ют на­клон­ным. Если же ос­но­ва­ние – не круг, а про­из­воль­ная фи­гу­ра, то такое тело также ино­гда на­зы­ва­ют ко­ну­сом, од­на­ко, ра­зу­ме­ет­ся, не кру­го­вым (см. рис. 4).

Таким об­ра­зом, мы снова при­хо­дим к ана­ло­гии, уже зна­ко­мой нам по ра­бо­те с ци­лин­дра­ми. По сути конус – это что-то вроде пи­ра­ми­ды, про­сто у пи­ра­ми­ды в ос­но­ва­нии мно­го­уголь­ник, а у ко­ну­са (ко­то­рый мы будем рас­смат­ри­вать) – круг (см. рис. 5).

От­ре­зок оси вра­ще­ния (в нашем слу­чае это катет ), за­клю­чен­ный внут­ри ко­ну­са, на­зы­ва­ют осью ко­ну­са (см. рис. 6).

Рис. 5. Конус и пи­ра­ми­да

Рис. 6.  – ось ко­ну­са

Рис. 7. Ос­но­ва­ние ко­ну­са

Круг, об­ра­зо­ван­ный вра­ще­ни­ем вто­ро­го ка­те­та (), на­зы­ва­ют ос­но­ва­ни­ем ко­ну­са (см. рис. 7).

А длина этого ка­те­та яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния ко­ну­са (или, проще го­во­ря, ра­ди­у­сом ко­ну­са) (см. рис. 8).

Рис. 8. – ра­ди­ус ко­ну­са

Рис. 9.  – вер­ши­на ко­ну­са

Вер­ши­на остро­го угла вра­ща­ю­ще­го­ся тре­уголь­ни­ка, ле­жа­щая на оси вра­ще­ния, на­зы­ва­ет­ся вер­ши­ной ко­ну­са (см. рис. 9).

Рис. 10.  – вы­со­та ко­ну­са

Вы­со­та ко­ну­са – от­ре­зок, про­ве­ден­ный из вер­ши­ны ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­но его ос­но­ва­нию (см. рис. 10).

Здесь у вас может воз­ник­нуть во­прос: чем же тогда от­ли­ча­ет­ся от­ре­зок оси вра­ще­ния от вы­со­ты ко­ну­са? На самом деле они сов­па­да­ют толь­ко в слу­чае пря­мо­го ко­ну­са, если же вы бу­де­те рас­смат­ри­вать на­клон­ный конус, то за­ме­ти­те, что это два со­вер­шен­но раз­ных от­рез­ка (см. рис. 11).

Рис. 11. Вы­со­та в на­клон­ном ко­ну­се

Вер­нем­ся к пря­мо­му ко­ну­су.

Рис. 12. Об­ра­зу­ю­щие ко­ну­са

От­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие вер­ши­ну ко­ну­са с точ­ка­ми окруж­но­сти ее ос­но­ва­ния, на­зы­ва­ют об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са. Кста­ти, все об­ра­зу­ю­щие пря­мо­го ко­ну­са равны между собой (см. рис. 12).

Рис. 13. При­род­ные ко­ну­со­по­доб­ные объ­ек­ты

В пе­ре­во­де с гре­че­ско­го konos озна­ча­ет «сос­но­вая шишка». В при­ро­де до­ста­точ­но объ­ек­тов, име­ю­щих форму ко­ну­са: ель, гора, му­ра­вей­ник и др. (см. рис. 13).

Но мы-то при­вык­ли, что конус – пря­мой. У него рав­ные между собой об­ра­зу­ю­щие, а вы­со­та сов­па­да­ет с осью. Такой конус мы на­зва­ли пря­мым ко­ну­сом. В курсе школь­ной гео­мет­рии обыч­но рас­смат­ри­ва­ют­ся имен­но пря­мые ко­ну­сы, при­чем по умол­ча­нию любой конус счи­та­ет­ся пря­мым кру­го­вым. Но мы уже го­во­ри­ли о том, что бы­ва­ют не толь­ко пря­мые ко­ну­сы, но и на­клон­ные.

 Сечения конуса

Рис. 14. Пер­пен­ди­ку­ляр­ное се­че­ние

Вер­нем­ся к пря­мым ко­ну­сам. «Раз­ре­жем» конус плос­ко­стью, пер­пен­ди­ку­ляр­ной оси (см. рис. 14).

Какая же фи­гу­ра ока­жет­ся на срезе? Ко­неч­но же, круг! Вспом­ним, что плос­кость про­хо­дит пер­пен­ди­ку­ляр­но оси, а зна­чит, па­рал­лель­но ос­но­ва­нию, ко­то­рое яв­ля­ет­ся кру­гом.

Рис. 15. На­клон­ное се­че­ние

А те­перь да­вай­те по­сте­пен­но на­кло­нять плос­кость се­че­ния. Тогда наш круг нач­нет по­сте­пен­но пре­вра­щать­ся во все более вы­тя­ну­тый овал. Но толь­ко до тех пор, пока плос­кость се­че­ния не столк­нет­ся с окруж­но­стью ос­но­ва­ния (см. рис. 15).

Рис. 16. Виды се­че­ний на при­ме­ре мор­ков­ки

Лю­би­те­ли по­зна­вать мир экс­пе­ри­мен­таль­ным путем могут в этом убе­дить­ся с по­мо­щью мор­ков­ки и ножа (по­про­буй­те от­ре­зать от мор­ков­ки пла­стин­ки под раз­ным углом) (см. рис. 16).

Рис. 17. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са

Се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через его ось, на­зы­ва­ют осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са (см. рис. 17).

Рис. 18. Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник – фи­гу­ра се­че­ния

Здесь же мы по­лу­чим со­вер­шен­но дру­гую фи­гу­ру се­че­ния: тре­уголь­ник. Дан­ный тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным (см. рис. 18).

 Заключение

На этом уроке мы узна­ли о ци­лин­дри­че­ской по­верх­но­сти, видах ци­лин­дра, эле­мен­тах ци­лин­дра и сход­стве ци­лин­дра с приз­мой.

 Задача

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 12 см и на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30 гра­ду­сов. Найти пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Ре­ше­ние

Рас­смот­рим ис­ко­мое осе­вое се­че­ние. Это рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, в ко­то­ром бо­ко­вые сто­ро­ны равны 12, а угол при ос­но­ва­нии – 30 гра­ду­сов. Даль­ше можно дей­ство­вать по-раз­но­му. Либо можно про­ве­сти вы­со­ту, найти ее (по­ло­ви­на ги­по­те­ну­зы, 6), потом ос­но­ва­ние (по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, ), а затем пло­щадь .

Рис. 19. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Либо сразу найти угол при вер­шине – 120 гра­ду­сов – и по­счи­тать пло­щадь как по­лу­про­из­ве­де­ние сто­рон на синус угла между ними (ответ будет, тот же).

Ответ: 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/ponyatie-konusa

http://www.youtube.com/watch?v=Z9w96vXOjsQ

http://www.youtube.com/watch?v=L_QOK5SnEss

http://www.youtube.com/watch?v=PNjIs873wuQ

https://www.youtube.com/watch?v=lgybEwTuJOU

http://math4school.ru/tela_vrashhenija.html

http://www.docme.ru/doc/452269/tela-vrashheniya

http://www.viktoriastar.ru/sechenie-priamogo-krugovogo-konusa.html

 

Файлы