11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
Комментарии преподавателя
Простейшие задачи в координатах
1. Введение
Пример 1. Задача на нахождение координат середины отрезка (рис. 1). Даны две точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – середина AB. Найти: C(x;y;z).
Рис. 1. Координаты середины отрезка
Решение: Обозначим в пространстве точки A, B и С – середину отрезка AB. Вектор 
является половиной суммы векторов
и 
, потому что OC – это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Координаты точки C находятся, как полусумма координат концов отрезка AB - точек A и B. Найдем координаты точки С:
, 
, 
.
Пример 2. Задача на нахождение модуля вектора через его координаты (рис. 2). Если у нас есть вектор 
, то его модуль вычисляется по формуле: 
.
Рис. 2.
Рассмотрим вывод этой формулы.
1) Начертим вектор 
и совместим его начало с началом координат, чтобы координаты точки M совпадали с координатами вектора.
2) Опустим перпендикуляр из точки M на плоскость Oxy, получаем точку K.
3) Рассмотрим 
. OA=x - первая координата точки M, отрезок AK=y – вторая координата точки M. Гипотенуза , 
- по теореме Пифагора.
4) Рассмотрим 
- прямоугольный, так как MK - перпендикуляр к плоскости Oxy. , MK=z.
- по теореме Пифагора.
Пример 3. Задача на нахождение расстояния между точками, которые заданы координатами (рис. 3). Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину отрезка AB.
Рис. 3.
Решение:
1) Найдем координаты вектора 
. 
.
2) Найдем модуль вектора по его координатам:
.
Задача №1.
Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – середина AB, 
. Найти: m, n.
Решение: Так как , мы знаем две координаты точки C – (x;0;0). Запишем формулу середины отрезка для отрезка AB и его середины – C. Получаем три уравнения:
; 
; 
.
Ответ: 
, 
.
Задача №2.
Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – середина MN. Найти: расстояние от начала координат до точки C.
Решение: Сначала найдем координаты точки C. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат. 
.
Нужно найти расстояние от начала координат до точки C. Это значит, что мы должны найти длину отрезка OC или модуль вектора . Так как - радиус-вектор, то координаты этого вектора равны координатам точки 
. Воспользуемся формулой нахождения длины вектора по его координатам:
.
Ответ: 
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/prosteyshie-zadachi-v-koordinatah-2
http://www.youtube.com/watch?v=plceaPIR2iM
http://www.youtube.com/watch?v=jlh9eus-_vE
http://stmplus.ucoz.ru/load/metodicheskie_materialy/geometrija_10_11_kl/prostejshie_zadachi_v_koordinatakh_atanasjan_l_s/8-1-0-56
http://static6.fileskachat.com/download.php?path=5/9/8517_2694c92c3b5ace346cce796d0c5052d6.pdf&fuid=1450435535158908698240&a=6
http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/37e/37ede998299d1eb8607a2acde5061fc3.jpg
http://www.100book.ru/b393010.jpg
http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/Vektor8.jpg