11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.

11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.

Найти длину вектора с началом в точке А и концом в точке В , если А (-1;-1;0); В(1;1;2).

Комментарии преподавателя

Про­стей­шие за­да­чи в ко­ор­ди­на­тах

 1. Введение

При­мер 1. За­да­ча на на­хож­де­ние ко­ор­ди­нат се­ре­ди­ны от­рез­ка (рис. 1). Даны две точки: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2), C – се­ре­ди­на AB. Найти: C(x;y;z).

Рис. 1. Ко­ор­ди­на­ты се­ре­ди­ны от­рез­ка

Ре­ше­ние: Обо­зна­чим в про­стран­стве точки A, B и С – се­ре­ди­ну от­рез­ка AB. Век­тор  яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной суммы век­то­ров и , по­то­му что OC – это по­ло­ви­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах   и . Ко­ор­ди­на­ты точки C на­хо­дят­ся, как по­лу­сум­ма ко­ор­ди­нат кон­цов от­рез­ка AB - точек A и B. Най­дем ко­ор­ди­на­ты точки С:

.

При­мер 2. За­да­ча на на­хож­де­ние мо­ду­ля век­то­ра через его ко­ор­ди­на­ты (рис. 2). Если у нас есть век­тор , то его мо­дуль вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле: .

Рис. 2.

 

Рас­смот­рим вывод этой фор­му­лы.

1) На­чер­тим век­тор  и сов­ме­стим его на­ча­ло с на­ча­лом ко­ор­ди­нат, чтобы ко­ор­ди­на­ты точки M сов­па­да­ли с ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра.

2) Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр из точки M на плос­кость Oxy, по­лу­ча­ем точку K.

3) Рас­смот­рим . OA=x - пер­вая ко­ор­ди­на­та точки M, от­ре­зок AK=y – вто­рая ко­ор­ди­на­та точки M. Ги­по­те­ну­за  - по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

4) Рас­смот­рим  - пря­мо­уголь­ный, так как MK - пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти Oxy. , MK=z.

 - по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

При­мер 3. За­да­ча на на­хож­де­ние рас­сто­я­ния между точ­ка­ми, ко­то­рые за­да­ны ко­ор­ди­на­та­ми (рис. 3). Дано: A(x1;y1z1), B(x2;y2;z2). Найти: длину от­рез­ка AB.

Рис. 3.

Ре­ше­ние:

1) Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

2) Най­дем мо­дуль век­то­ра  по его ко­ор­ди­на­там:.

За­да­ча №1.

Дано: A(-3;m;5), B(2;-2;n), C – се­ре­ди­на AB, . Найти: m, n.

Ре­ше­ние: Так как , мы знаем две ко­ор­ди­на­ты точки C – (x;0;0). За­пи­шем фор­му­лу се­ре­ди­ны от­рез­ка для от­рез­ка AB и его се­ре­ди­ны – C. По­лу­ча­ем три урав­не­ния:

.

Ответ: .

За­да­ча №2.

Дано: M(-4;7;0), N(0;-1;2), C – се­ре­ди­на MN. Найти: рас­сто­я­ние от на­ча­ла ко­ор­ди­нат до точки C.

Ре­ше­ние: Сна­ча­ла най­дем ко­ор­ди­на­ты точки C. Ее ко­ор­ди­на­ты равны по­лу­сум­ме со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат. .

Нужно найти рас­сто­я­ние от на­ча­ла ко­ор­ди­нат до точки C. Это зна­чит, что мы долж­ны найти длину от­рез­ка OC или мо­дуль век­то­ра . Так как  - ра­ди­ус-век­тор, то ко­ор­ди­на­ты этого век­то­ра равны ко­ор­ди­на­там точки . Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой на­хож­де­ния длины век­то­ра по его ко­ор­ди­на­там:.

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/prosteyshie-zadachi-v-koordinatah-2

http://www.youtube.com/watch?v=plceaPIR2iM

http://www.youtube.com/watch?v=jlh9eus-_vE

http://stmplus.ucoz.ru/load/metodicheskie_materialy/geometrija_10_11_kl/prostejshie_zadachi_v_koordinatakh_atanasjan_l_s/8-1-0-56

http://static6.fileskachat.com/download.php?path=5/9/8517_2694c92c3b5ace346cce796d0c5052d6.pdf&fuid=1450435535158908698240&a=6

http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/37e/37ede998299d1eb8607a2acde5061fc3.jpg

http://www.100book.ru/b393010.jpg

http://www.varson.ru/images/Geometry_jpeg_big/Vektor8.jpg

 

Файлы