11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
Комментарии преподавателя
1. Введение
Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.
Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат (см. Рис. 1).
Рис. 1. Построение точки B в пространстве
Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.
Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см. Рис. 2).
Рис. 2.
Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.
Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.
Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.
Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.
2. Координаты вектора
Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс
, единичный вектор оси ординат 
, и единичный вектор оси аппликат 
(см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.
Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам
Возьмем вектор 
, поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях - векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов 
, 
и 
. Получаем: 
. Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . 
, а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:
Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.
Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.
; 
1) Сложение: 
2) Вычитание: 
3) Умножение на число: 
, 
Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус-вектором. (Рис. 2). Вектор 
- радиус-вектор, где x, y и z – это коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам , , . В данном случае x – это первая координата точки A на оси Ox, y – координата точки B на оси Oy, z – координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.
Рис. 2.
Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор 
как разность векторов и по свойству векторов. Причем, и - радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора как разность соответствующих координат векторов и : 
. Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.
Рис. 3.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы 
, 
, 
. Нас спрашивают вектор 
. В данном случае найти 
это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:
Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:
У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:
Ответ: 
Пример №2.
Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.
Найти: 
,
,,
,
,
,
,
.
Рис. 4.
Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Так как координаты вектора - это разность координат его конца и начала, получаем:
. Таким же образом находим координаты векторов и . 
; 
.
Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты
, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим 
. MN – средняя линия, 
. Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: 
.
Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.
;
.
Вектора и - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: 
, 
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/pryamougolnaya-sistema-koordinat-v-prostranstve?seconds=0&chapter_id=218
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/koordinaty-vektora-2
http://www.youtube.com/watch?v=I1ls2_8OC7o
http://www.youtube.com/watch?v=4mzetW2y53Y
http://www.youtube.com/watch?v=OyQZg-oHE7g
https://www.youtube.com/watch?v=oboW6X5_LEg
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Prjamougolnaja-sistema-koordinat/006-Nachalo-koordinat.html
http://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=101
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Prjamougolnaja-sistema-koordinat-v-prostranstve/Prjamougolnaja-sistema-koordinat-v-prostranstve.html