10 класс. Геометрия. Свойства параллельных плоскостей.

10 класс. Геометрия. Свойства параллельных плоскостей.

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и к тому же ....

Комментарии преподавателя

1. Тема урока

Свойства параллельных плоскостей

2. Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости  и  и плоскость  , которая пересекает плоскости  и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Рис. 1.

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

 

3. Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 2.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости  и и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости  и  по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВDпараллельны.

Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

4. Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости  и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Рис. 3.

Параллельные плоскости  и рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости  – В1С1. По первому свойству, линии пересечения ВС и В1С1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ1С1 подобны. Получаем:

 

Свойство доказано.

5. Решение задач

Задача 1.

Параллельные плоскости  и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В1 и В2 (Рис. 4.).

Найдите:

а) АА2 и АВ2, если А1А2=2А1А=12 см, АВ1=5 см.

б) А2В2 и АА2, если А1В1=18 см. АА1=24 см, .

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А1А = k, тогда по условию длина А1А2=2k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА2=3k=3∙6=18, т.е. АА2=18 см.

Две параллельные плоскости  и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А1В1 и А2В2 параллельны. Значит, треугольники АА2В2 и АА1В1 подобны по двум углам (угол ВАС общий, углыАА1В1 и АА2В2 равны). Из подобия имеем:

  см.

Ответ: АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см.

б) Пусть А1А2 k, тогда длина отрезка , по условию. Длина отрезка АА2 состоит из длин двух отрезков: АА2=АА1А1А2, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит,  см.

Из подобия треугольников АА2В2 и АА1В1 следует, что

 см.

Ответ: А2В2 = 54 см, АА2 = 72 см.

6. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели свойства параллельных плоскостей и использовали при решении некоторых задач.

На следующем уроке мы рассмотрим тетраэдр.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/svoystva-parallelnyh-ploskostey?seconds=0&chapter_id=210

https://www.youtube.com/watch?v=OphqSvbm7kw

https://www.youtube.com/watch?v=a71Fo2UZM88

http://geometry2006.narod.ru/Lessons/10-11/8.ppt

http://fizma.net/index.php?idi=geo/prostir&idl=ru

http://klassnoedelo.ru/catalog/product/matematika/matematika-geometriya-10-kl/

http://russkiy-gdz.com/f/homework/9104/173776.jpg

http://gdzme.com/files/tasks_images/000/004/120/173779.jpg

http://gdzme.com/files/tasks_images/000/004/120/173766.jpg

Файлы