Комментарии преподавателя

 

Великий физик, механик, астроном и математик Галилео Галилей писал: «Великая книга Природы написана языком математики». Современный  математический  язык  заменяет естественный, разговорный  язык  специальными  буквенными  и  символическими  выражениями.  Рассмотрим  простейшие  понятия  и  обозначения  языка  теории  множеств, который  вот уже более 100 лет  составляет фундамент современного математического языка.

Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то их удобно просто перечислить. Перечисляют элементы множества в фигурных скобках.

Например,  множество дней недели будет состоять из их названий: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье – {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}.

Множество однозначных натуральных чисел состоит из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Заметим, что элементы множества можно перечислять в произвольном порядке. От изменения порядка перечисления элементов само множество не меняется. В математике чаще используются числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа.

Пример 1. Множество К состоит из всех корней уравнения  х3 – 5х2 – 16х + 80  = 0.

а) Решить уравнение. б) Задать множество К перечислением его элементов. в) Записать все возможные способы перечисления элементов множества К. г) Сколько всего способов перечисления множества К?

Решение: 

1. Решим уравнение способом группировки. Для этого сгруппируем  попарно 1-е, 2-е и 3-е, 4-е слагаемые, а затем  в каждой группе вынесем общий множитель за скобки. Получаем уравнение х2 (х – 5) – 16(х – 5) = 0. Теперь вынесем общий множитель (х – 5) за скобки, тогда уравнение примет вид (х2 – 16)(х – 5) = 0. Двучлен  (х2 – 16) разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда имеем (х – 4)(х + 4)(х – 5) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Решим совокупность уравнений х – 4 = 0,
   х + 4 = 0, х – 5 = 0. Получаем корни х = 4, х = – 4, х = 5. 
2. Зададим множество К перечислением корней в порядке убывания. Получаем, что множество К состоит из числовых элементов  5, 4, – 4, т.е. К = {5, 4, – 4}.
3. Запишем все возможные способы перечисления элементов множества К.
   Для этого три разных числа надо расставить по трём разным местам.
   Если на первом месте стоит число 5, то возможен один вариант, отличный от предыдущего 
   5, – 4, 4, т.е. К = {5, – 4, 4}. 
   Если на первом месте стоит число 4, то возможны два  различных варианта 4, – 4, 5 и 4, 5, – 4, т.е. К = {4, – 4, 5} и К = {4, 5, – 4}.
   Если на первом месте стоит число – 4, то возможны ещё два  различных варианта  – 4, 4, 5 и 
   – 4, 5, 4, т.е. К = {– 4, 4, 5} и К = {– 4, 5, 4}
4. Всего получили 6 способов перечисления множества К. 

 Способы задания множества

Рассмотрим уравнение х2014 + 1 = 0. Решая его, получаем х2014 = – 1. Но чётная степень любого числа не может быть отрицательной, значит, нельзя найти значение х, удовлетворяющее данному уравнению. В такой ситуации говорят, что уравнение не имеет решения или х принадлежит пустому множеству, т.е. множеству, не содержащему ни одного элемента. Пустое множество обозначается зачёркнутым кружком х ∈ Ø.

Множество можно задать различными способами:

1. символическая запись. Например, множество чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. можно описать словами как множество натуральных чисел. В математике такое множество символически обозначают заглавной латинской буквой N. Или множество всех чисел больше –5 и меньше 3, то его можно символически записать с помощью круглых скобок в интервале от – 5 до 3,
   (– 5; 3) 
2. с помощью характеристического свойства множества. Например, множество всех значений х таких, что х не меньше 7 можно записать в фигурных скобках  переменной х, а далее поставить вертикальную черту и записать правило выбора значений х, то есть в нашем случае х больше или равно 7  {х ∣ х ≥ 7}.  Таким образом, символ вертикальной черты является заменой слов «...таких, что...».

Пример 2.  Записать множество всех значений х таких, что они удовлетворяют неравенству

Решение:

1. Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 12.
2. Получаем неравенство 4(х - 2) + 3(5 + 2х) > 12х - 7.
3. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, имеем  10х + 7 > 12х - 7.
4. Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа - вправо, тогда неравенство принимает вид 2х < 14, следовательно, х < 7, то есть х принадлежит интервалу от - бесконечности до 7. Это и есть искомый числовой промежуток.

Такой словесный оборот «принадлежит» в математике обозначают ∈. Если необходимо показать, что х не является элементом множества, то используют аналогичный, но уже зачеркнутый знак ∉.

 Подмножества

Элементы, которые образуют множество, можно объединять не сразу все вместе, а группируя их в разных комбинациях. Так можно получать различные подмножества данного множества. Например, для множества {y, z, t} можно составить три подмножества {y, z}, {y, t}, {z, t}.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А

Для обозначения используется знак «включения», записывается он в виде двупалой вилки, направленной вправо В  ⊂ А.

Рассмотрим рисунок. Видно, что множество С является подмножеством множества А, так как треугольник С полностью включается в квадрат А.  А множество В не является подмножеством множества А.

 

 Пересечением множеств А и В  называется множество, состоящее из всех общих элементов множества А и В, то есть из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. A∩B = {x ∣ x∊A и x∊B}.

Пересечение множеств обозначают двухпалой вилкой, направленной вниз ∩.

ПРИМЕР 1.

Найти пересечение множеств А и В, если
а) А - множество различных букв, используемых в слове "ЗНАЙКА", В - множество различных букв, используемых в слове "ОБУЧАЙКА";   
б) А - множество всех двузначных чисел, В - множество чисел, кратных 11;   
в) А = [пи;  корень квадратный из 41], В = N .

РЕШЕНИЕ.

а) Выпишем  множество различных букв в слове "ЗНАЙКА". Получаем, что множество А состоит из букв з, н, а, й, к. A={з, н, а, й, к}. Выпишем  множество различных букв в слове "ОБУЧАЙКА". Получаем, что множество  состоит из букв о, б, у, ч, а, й, к.  B={о, б, у, ч, а, й, к}. Рассмотрим поочерёдно каждый элемент множества А и выясним, входят ли они во множество В. Буква "з" принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В, значит, не является общим элементом  для этих двух множеств. Буква "а" принадлежит и множеству А, и множеству В, значит, является общим элементом для множества А и множества В.  Аналогично рассуждая, проверяем каждую букву множеств А и В. Получаем, что буквы а, й, к являются общими для множества А и множества В, значит, множество из этих букв является пересечением двух множеств А и В.

б)Распишем множество двузначных чисел А как  10, 11, 12, 13, . . . 96, 97, 98, 99 и множество чисел, которые делятся на 11 - множество В как 11, 22, 33, . . . 88, 99, 110, . . . Перебираем каждый элемент множества А, потому что оно содержит меньше элементов, чем множество В, получаем, что числа 11, 12, ..., 88, 99  являются элементами и множества А и множества В. Значит, эти общие элементы составляют множество являющееся пересечением двух данных множеств А и В.

в) На числовой прямой отметим отрезок от пи до корня квадратного из 41. Число пи принадлежит множеству А, но не является натуральным числом, значит, не принадлежит множеству В. Корень квадратный из 41 также принадлежит множеству А и расположен между натуральными числами 6 и 7, значит, он не является элементом множества В. Тогда во множество А войдут натуральные числа 4, 5, 6.

Эти три числа и составляют множество являющееся пересечением двух множеств А и В.

 Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств, то есть из всех элементов, которые принадлежат или множеству А, или множеству В. A∪B = {x ∣ x∊A или x∊B}.

Объединение множеств обозначают двухпалой вилкой, направленной вверх ∪.

ПРИМЕР 2.

Найти объединение множеств А и В, если  
а) А - множество различных букв, используемых в слове "ЗНАЙКА", В - множество различных букв, используемых в слове "ОБУЧАЙКА";   
б) А - множество всех чисел, на которые делится число 75, В - множество делителей числа 30;
в) А = [пи;  корень квадратный из 41], В = [2; 8] .

РЕШЕНИЕ.

а) Выпишем  множество различных букв в слове "ЗНАЙКА". Получаем, что множество А состоит из букв з, н, а, й, к.  A={з, н, а, й, к}. Выпишем  множество различных букв в слове "ОБУЧАЙКА". Получаем, что множество  состоит из букв о, б, у, ч, а, й, к.  B={о, б, у, ч, а, й, к}. В объединение множеств должны входить все элементы, которые встречаются хотя бы в одном из множеств А или В, значит, надо выписать все элементы множества А, а затем к ним добавить элементы, которые ещё не были записаны из множества В. Полученное множество из этих букв является объединением двух множеств А и В.

б) Составим множество А, то есть выпишем все делители числа 75. Тогда имеем множество чисел 1, 3, 5, 15, 25, 75. Составим множество В делителей числа 30. Имеем множество чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. В объединение множеств должны входить все элементы, которые встречаются хотя бы в одном из множеств А или В, значит, надо выписать все элементы множества В, потому что оно содержит больше элементов, а затем к ним добавить элементы, которые ещё не были записаны из множества А. Полученное множество из этих чисел является объединением двух множеств А и В.

 в) На числовой прямой отметим отрезок от пи до корня квадратного из 41. На второй числовой прямой отметим отрезок от 2 до 8. Через концы обоих отрезков проведём вертикальные линии. Объединением двух отрезков является промежуток, в котором отмечена хотя бы одна точка хотя бы одного промежутка. Получили, что отрезок множества А полностью включён в отрезок множества В, значит, отрезок множества В является объединением двух множеств А и В.

Итак, на этом занятии мы познакомились с операциями над множествами, а именно операциями пересечения и объединения множеств, а также разобрали примеры на применение этих операций.

 

Источник конспекта: http://znaika.ru/catalog/9-klass/algebra/Ponyatie-mnozhestva.-Podmnozhestvo

http://znaika.ru/catalog/9-klass/algebra/Peresechenie-i-obedinenie-mnozhestv

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=-XYPPP3Gtqo

Файлы