9 класс. Алгебра. Множества и операции над ними.

Множества. Основные понятия.

ДАЛЬШЕ

Множества. Основные понятия.

Комментарии преподавателя

Математика отражает реальную жизнь, а в реальной жизни мы наблюдаем выделение отдельных объектов, людей в единую совокупность. Например, родственников мы выделяем в единую совокупность и называем семьей, группу книг называем библиотекой и т.д. В математике соответствующим понятием является понятие множества.

Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита (). Множества в математике состоят из элементов, которые обозначаются малыми латинскими буквами ().

Тот факт, что элемент принадлежит множеству , записывается как . Тот факт, что элемент не принадлежит множеству , записывается как .

Два множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Например: множество содержит цифры 1, 2, 3 и множество содержит эти цифры (), значит, множества равны друг другу (.

Способы задания множеств

Способы задания множества:

1) Перечисление всех элементов множества. Например: .

2) С помощью характеристического свойства – свойства, которым обладают элементы множества (рис. 1).

Множество простых чисел – все натуральные числа, которые имеют ровно два обычных делителя.

Расположенные на оси x числа, между числами 1 и 2: .

Задание множества с помощью характеристического свойства

Рис. 1. Задание множества с помощью характеристического свойства

Множество всех москвичей, которых зовут Дмитрий.

Пример

Рассмотрим множество корней уравнения. Зададим его характеристическим свойством: . Допустим, теперь следует задать то же множество, но с помощью перечисления его элементов. Для этого решим уравнение:

Тогда и т.д., порядок элементов здесь не важен.

Мы видим, что переход к новому виду множества может быть содержательной математической задачей. Здесь – это решение уравнения.

Аналогичный пример: описать множество корней уравнения: .

Мы знаем, что для любого , , тогда , значит, уравнение не имеет смысла, то есть у него нет корней. В этом случае записывается так называемое пустое множество .

По аналогии с нулем пустое множество – это множество в котором нет ни одного элемента.

Неправильное задание множеств

Характеристическое множество всегда должно быть сформулировано четко. Вот пример не очень удачной характеристики множества: окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки. Если представить квадрат, то можно увидеть, что все его вершины равноудалены от одной точки – точки пересечения диагоналей (рис. 2).

Иллюстрация примера не очень удачной характеристики множества

Рис. 2. Иллюстрация примера не очень удачной характеристики множества

Но множество вершин квадрата не является окружностью, пропущено ключевое слово «…всех точек плоскости…».

Примеры множеств, основанных на теоремах

Еще один пример о способах задания бесконечных множеств. Теорема: серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.

Возьмем отрезок , его центр – точка . Перпендикуляр, проведенный через точку к отрезку () – это серединный перпендикуляр, любая его точка равноудалена от концов отрезка (рис. 3). Точка принадлежит перпендикуляру () тогда и только тогда, когда . Смысл этой теоремы в том, что есть множество, которое задано характеристическим свойством, то есть равноудаленностью от концов отрезка, то есть множество задано неявно. Теорема утверждает, что это множество совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку, то есть может быть задано явно – в том смысле, что может быть указан способ его построения, в данном случае построение циркулем и линейкой.

Рис. 3. Пример к теореме о серединном перпендикуляре к отрезку

Еще один пример: при изучении вписанных окружностей доказывают такую теорему – биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Имеем угол с вершиной , биссектриса , точка на биссектрисе. Опускаем перпендикуляры на стороны угла, к точкам и (рис. 4). Эти перпендикуляры, а значит, и расстояние от точки до лучей угла равны между собой. Точка принадлежит биссектрисе () тогда и только тогда, когда .

Рис. 4. Пример для теоремы о биссектрисе угла

Смысл этой теоремы в том, что есть множество с заданным характеристическим свойством: геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, то есть множество задано неявно. Теорема утверждает, что это множество может быть задано явно, то есть может быть указан способ его построения, в данном случае построение циркулем и линейкой. Оно совпадает с биссектрисой. В данном случае мы опять сталкиваемся с тем, что задача перехода от одного описания множества к другому, может быть содержательной математически. Обратим внимание на то, что для бесконечных множеств, задание множества перечислением невозможно, а явное построение служит заменой этого способа.

Подмножество.

Введение

С понятием «множество» вы уже знакомы. Подмножество, как можно догадаться из названия, – это определенная часть множества. Например:

А – это множество всех учеников в классе.

В – это множество девочек указанного выше класса.

С – множество всех мальчиков класса.

D – множество всех отличников данного класса.

Е – множество всех мальчиков-отличников этого класса.

Таким образом, были перечислены множество (А) и его подмножества (В, С, D, Е). Теперь мы можем дать определение, что такое «подмножество».

Определение

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называют подмножеством множества А.

В ⊂ А

Как пример, девочки класса из примера выше (множество В) являются ученицами класса (множество А). Значит, В входит в А.

Мальчики тоже являются частью класса, значит, С ⊂ А.
Все отличники являются частью класса, D ⊂ A.

Как и мальчики, отличники – это ученики класса, то есть Е ⊂ А.

Разница между значками ∈ и ⊂

Если у нас а ∈ А, то это значит, что а принадлежит А.То есть, это один элемент a принадлежит множеству А.

Если же подмножество В входит в А, то мы пишем В ⊂ А.

То есть между значками есть разница.

Примеры важных числовых множеств и подмножеств

N – множество натуральных чисел (с их помощью мы считаем предметы, природу и так далее.)

N =

Z – множество целых чисел.

Z =

Ясно, что натуральные числа – это подмножество целых чисел, то есть N ⊂ Z.

Q – множество рациональных чисел.

Q =

Если к множеству рациональных чисел добавить множество иррациональных чисел, то мы получим множество всех действительных чисел.

R – множество действительных чисел.

R =

Запишем правильные включения:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Пример из геометрии

Пусть множество А – это множество всех четырехугольников: A, B, C, D (рис. 1).

Множество А

Рис. 1. Множество А

Пусть множество В – это множество четырехугольников с парой равных параллельных сторон: A, B, C, D (рис. 2).

BC = AD BC || AD

Множество В

Рис. 2. Множество В

Множество С – это множество таких четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, делятся пополам: AB, CD – диагонали, т. О – точка пересечения диагоналей, АО = ОС, BO = OD (рис. 3).

Множество С

Рис. 3. Множество С

Итак, было рассмотрено 3 множества четырехугольников: множество произвольных четырехугольников; множество четырехугольников, у которых парные стороны равны и параллельны; множество четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим еще 2 множества.

Множество D – это множество всех параллелограммов, и множество Е – множество параллелограммов с прямым углом (рис. 4).

Множества D и Е

Рис. 4. Множества D и Е

Таким образом, мы имеем 5 множеств четырехугольников.

Задача

Написать верное включение (то есть, какое множество является подмножеством другого множества) (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Наиболее богатое – это множество всех четырехугольников. Значит:

B ⊂ A; C ⊂ A; D ⊂ A; E ⊂ A

Множества В, С, D и Е являются подмножествами множества А.

Далее вспомним определение параллелограмма:

Параллелограммом называется такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Для того чтобы убедиться, что фигура является параллелограммом, необходимо вспомнить его признаки:

1. Если 2 стороны параллельны и равны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Значит, В – это множество всех параллелограммов.

2. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то эта фигура – параллелограмм.

Значит, С – это множество всех параллелограммов.

Про множество D напрямую было сказано, что это множество всех параллелограммов.

Если будет стоять вопрос, какие множества равны между собой, то можно ответить, что:

В = С = D – это множества всех параллелограммов.

3. Если в параллелограмме хотя бы один угол равен 900, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Значит, Е – это множество всех прямоугольников. Множество всех прямоугольников является подмножеством (частным случаем) произвольного четырехугольника и подмножеством параллелограмма. Отсюда имеем:

Е ⊂ А; E ⊂ B; E ⊂ C; E ⊂ D

Мы рассмотрели множества четырехугольников, из которых самое богатое множество – это множество всех четырехугольников, далее по-разному заданы множества параллелограммов и, наконец, Е – это множество всех прямоугольников. Были даны ответы на вопросы, где верные включения, какие множества равны между собой.

Мы уже знакомы с понятием множеств. Знаем, что каждое множество состоит из элементов. Сегодня мы рассмотрим примеры пересечения и объединения множеств.

Обозначение:
a∈A

b∉A

∈ – принадлежит, ∉ – не принадлежит.

Число элементов в множестве может быть конечным, бесконечным и пустым.

A={a;b;c} – конечное множество

B={x| 2≤x≤3} – бесконечное множество

∅ – пустое множество

Повторение знаний о множестве

Пересечение и объединение множеств – операции над множествами.

Пример на применение объединения и пересечения множеств

Пример: В классе 19 учеников: 10 девочек, 9 мальчиков.

10 девочек – это множество .

9 мальчиков – это множество .

Класс из 19 учеников – это множество С, которое объединяет два множества.

Пусть в классе 5 отличников – это множество D.

Из них 2 мальчика – это множество E.

Из какие элементов состоит множество Е?

Мальчики входят в множества В, так как 2 мальчика – отличники, они входят в множество D.

Рис. 1. Пересечение двух множеств

Множество Е есть пересечение двух множеств В и D(рис. 1).

Определение понятия объединение множеств

Определение: объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В (рис. 3).

Рис. 2. Множества

Рис. 3. Объединение множеств

– знак объединения.

Множество состоит из всех элементов , которые входят или в множество , или в множество . Это можно записать следующим образом:

Пример № 1 на применение определения объединение множеств

Дано множество = и .

Найти объединение множеств .

Решение:

Пример № 2 на объединение бесконечных множеств

Дано множество и .

Найти объединение множеств .

Решение:

Имеем совокупность неравенств:

Пример № 3. Решение квадратного неравенства

Решить квадратное неравенство .

Решение:

Рассмотрим функцию .

Найдём корни функции .

По теореме Виета: .

Имеем объединение двух множеств .

Схематически изобразим график функции:

при или .

Ответ:.

Определение понятия пересечение множеств

Пересечение множеств

Пересечением множеств Aи B называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.

– знак пересечения