9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы.
9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы будем повторять неравенства. Мы вспомним, что такое линейное и квадратное неравенство, частное и общее решение, символическая запись. А также вспомним специфику решения неравенств – три правила равносильных преобразований. И решим несколько примеров на линейные неравенства.
Тема: Рациональные неравенства и их системы. Линейные и квадратные неравенства (повторение)
Урок: Основные понятия, решение линейных неравенств
1. Основные понятия, решения
Рациональные неравенства – основные понятия и решения квадратных и линейных неравенств (9 класс)
Линейное и квадратное неравенство, повторение, урок 1, основные понятия решения линейных неравенств
Неравенство с одной переменной имеет вид: f(x) > 0, вместо (> 0) может быть (≥ 0), (< 0), (≤ 0).
Для определенности будем записывать неравенство в виде f(x) > 0.
x – переменная,
f – функция, выражение, зависящее от х.
В зависимости от f различают разные типы неравенств. Если f – линейная функция, то это линейное неравенство. Если f – квадратичная функция, то это квадратное неравенство.
Итак, линейное неравенство имеет вид ax+b>0, предполагается, что a≠0.
Квадратное неравенство имеет вид 
.
Значение x, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, является частным решением неравенства. Решить неравенство – найти все решения неравенства. Множество всех решений неравенства называется общим решением неравенства, или просто решением неравенства.
Рассмотрим пример:
1) Решить неравенство 2x – 5 > 9.
Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.
2x – 5 > 9 <=> 2x > 14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее разделили все на 2 и получили x > 7. Изобразим множество решений на оси x.
Это положительно направленный луч. Записывается множество решений либо в виде неравенства x > 7, либо в виде интервала
(7; ∞). А что является частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.
Частных решений много, но наша цель – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.
Рассмотрим пример 2:
2) Решить неравенство 4a – 11 > a + 13.
Решим его: а перенесем в одну сторону, 11 перенесем в другую сторону, получим 3a < 24, и в результате после деления обеих частей на 3 получим a < 8.
4a – 11 > a + 13 <=> 3a > 24 <=> a > 8.
Ответ либо записывается в виде неравенства a > 8, либо а 
(8; +∞), 8 не включается.
При решении неравенства есть важное отличие его от уравнений, которое состоит в том, что любое решение уравнения можно проверить просто подстановкой в исходное уравнение. В неравенствах такой возможности нет, здесь бесчисленное множество решений подставить в исходное неравенство не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки <=> - это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не искажают множества решений. О важности эквивалентных (равносильных) преобразований можно узнать, рассмотрев следующий пример.
3) Решить неравенство 
≤ 1.
Решение будем искать среди x ≠ 0, потому что x стоит в знаменателе. Если x ≠ 0, то обе части неравенства можно умножить наx: 
, основное свойство дроби позволяет сократить в левой части 
, и в результате получим ≥ 1.
Однако неравенство решено неверно. Почему? Возьмем =-1, которое не входит в найденный промежуток, подставив его в исходное неравенство, получим -1 ≤ 1, т.е. это еще одно частное решение исходного неравенства: -1.
Что же мы сделали? Мы обе части неравенства ≤ 1 умножили на , не зная знака этого выражения, ведь может принимать как положительные значения, так и отрицательные.
Таким образом, мы подтвердили важность эквивалентных, равносильных преобразований. Вспомним, что это за равносильные, эквивалентные преобразования, и продемонстрируем их на конкретном примере.
Решить неравенство 2 – 2
>4.
1. Любой член неравенства можно перенести в другую сторону с противоположным знаком, равносильность, эквивалентность не нарушится.
2 – 2 > 4 <=> -2 > 4 – 2 <=> -2 > 2
Эквивалентность не нарушилась, о чем мы говорим вот таким знаком <=>.
2. Второе правило нам говорит, что обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится на противоположный.
3. И еще одно правило: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, и знак неравенства не изменится.
Теперь исходное неравенство имеет вид: -2x > 2. Давайте обе части неравенства разделим на (-2):
-2 >2 <=> <-1. Знак неравенства изменится, т.к. мы делим на (-2) и пользуемся соответствующим правилом.
Мы пользовались равносильными, эквивалентными преобразованиями и получили правильный ответ: < -1.
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=sVF1mn9HSfs
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-racionalnyh-neravenstv/osnovnye-ponyatiya-reshenie-lineynyh-neravenstv?konspekt&chapter_id=22
Файлы
Нет дополнительных материалов для этого занятия.