8 класс. Алгебра. Квадратичная функция. Функция у = к/х.

8 класс. Алгебра. Квадратичная функция. Функция у = к/х.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим тему «Функция , ее свойства и график»

 Функция у = ах2 + bx +c

Функ­ция 

Опре­де­ле­ния

Мно­го­член , где  – числа (ко­эф­фи­ци­ен­ты, ) на­зы­ва­ет­ся квад­рат­ным трёх­чле­ном.

 – стар­ший член

 – стар­ший ко­эф­фи­ци­ент

Функ­цию , где , на­зы­ва­ют квад­ра­тич­ной функ­ци­ей. , b, c опре­де­ля­ют кон­крет­ную квад­ра­тич­ную функ­цию. На­при­мер,

Урав­не­ние  на­зы­ва­ют квад­рат­ным, если .

За­да­ча этого урока – изу­че­ние квад­ра­тич­ной функ­ции , где .

До этого урока был изу­чен част­ный слу­чай квад­ра­тич­ной функ­ции, а имен­но , где  и .

Парабола
Рис. 1. Па­ра­бо­ла

Вер­ши­на дан­ной па­ра­бо­лы рас­по­ло­же­на в точке , а ко­эф­фи­ци­ент  и  в пер­вом слу­чае ();  во вто­ром слу­чае ().

Чтобы пе­рей­ти к об­ще­му слу­чаю, нам сле­ду­ет услож­нить част­ный слу­чай .

На­при­мер, возь­мем функ­цию . Если мы её услож­ним до , то по­лу­чим пол­но­цен­ную квад­ра­тич­ную функ­цию: , где .

Иллюстрация к примеру

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Возь­мем дру­гой при­мер: , где .

Иллюстрация к примеру

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Вер­ши­на дан­но­го гра­фи­ка будет на­хо­дить­ся в точке . От­сю­да сле­ду­ет вывод, что гра­фи­ки  и имеют один и тот же шаб­лон (па­ра­бо­лу ), но с раз­ным рас­по­ло­же­ни­ем вер­ши­ны.

 Метод выделения полного квадрата

Шаб­лон кри­вой  есть па­ра­бо­ла .

Парабола

Рис. 4. Па­ра­бо­ла

До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на ме­то­де вы­де­ле­ния пол­но­го квад­ра­та.

Фор­му­ла

При­ме­ры

1. 

2. 

При­мер 

Иллюстрация к примеру

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Вывод под­твер­дил­ся: шаб­ло­ном гра­фи­ка функ­ции  есть па­ра­бо­ла .

 Метод выделения полного квадрата. Общий случай

Сна­ча­ла вы­но­сим «а» за скоб­ки:

Те­перь вы­де­лим удво­ен­ное про­из­ве­де­ние и вто­рое число:

Затем вы­де­лим пол­ный квад­рат:

При­ве­дем к об­ще­му зна­ме­на­те­лю  и :

Функ­ция имеет вид:

Па­ра­бо­ла  яв­ля­ет­ся шаб­ло­ном кри­вой .

 График функции у = ах2 + bx +c

Чтобы по­стро­ить гра­фик функ­ции  необ­хо­ди­мо:

1. По­стро­ить па­ра­бо­лу 

2. Вы­пол­нить па­рал­лель­ный пе­ре­нос па­ра­бо­лы  так, чтобы её вер­ши­на  сов­ме­сти­лась с точ­кой .

 – ось па­ра­бо­лы

 

 

­

Свой­ства функ­ции  ана­ло­гич­ны свой­ствам функ­ции .

 Задачи

За­да­ча 1. По­стро­ить и про­честь гра­фик функ­ции 

Ре­ше­ние:

1. Найти ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны.

2. По­стро­ить несколь­ко точек (или ис­поль­зо­вать шаб­лон)

3. По­лу­чить ис­ко­мую кри­вую 

Иллюстрация к задаче

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Функ­ция убы­ва­ет, если . Функ­ция воз­рас­та­ет, если .

За­да­ча 2. Пе­ре­чис­лить ос­нов­ные свой­ства 

Ре­ше­ние:

Ис­поль­зу­ем свой­ства 

1. 

2.  – не су­ще­ству­ет

3.  при  при 

4. непре­рыв­на

5. вы­пук­ла вниз

За­да­ча 3.Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых  имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

1.  

2. стро­им гра­фик функ­ции  

Иллюстрация к задаче

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: .

Объ­яс­не­ние к дан­но­му от­ве­ту:

По смыс­лу мно­же­ства зна­че­ний : зна­че­ния функ­ции из , и толь­ко они, до­сти­га­ют­ся хотя бы при одном зна­че­нии  из ОДЗ.

За­да­ча 4. Опре­де­ли­те знаки  функ­ции  по её гра­фи­ку 

Иллюстрация к задаче

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние:

1. 

2.  (ветви на­прав­ле­ны вверх)

3.  (так как  

Ответ: .

За­да­ча 5. Дано: . Найти: .

Ре­ше­ние:

1.

2. 

3. стро­им гра­фик 

Иллюстрация к задаче

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: .

 Вывод

Итак, мы рас­смот­ре­ли квад­ра­тич­ную функ­цию , где . Вы­яс­ни­ли, что шаб­ло­ном для ее гра­фи­ка яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла у = ах2.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-ax-sup-2-sup-bx-c-ee-svoystva-i-grafik?konspekt&chapter_id=14

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=xN5qP1ukDSg

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.