11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Комментарии преподавателя

Квад­ра­тич­ная функ­ция в за­да­чах с па­ра­мет­ром

 1. Суть решения задач с параметром, квадратичная функция

На­пом­ним смысл вы­ра­же­ния «ре­шить с па­ра­мет­ром» – можно ре­шать урав­не­ния, нера­вен­ства, си­сте­мы с па­ра­мет­ром.

Ре­шить за­да­чу, на­при­мер, урав­не­ние  или нера­вен­ство  с па­ра­мет­ром а – озна­ча­ет «пе­ре­брать» все зна­че­ния па­ра­мет­ра и для каж­до­го из них ука­зать ответ.

При­ме­ни­тель­но к дан­ной теме все пре­об­ра­зо­ва­ния будут вы­пол­нять­ся с уче­том свойств квад­ра­тич­ной функ­ции.

 

 2. Квадратичные уравнения с параметром

На­пом­ним ос­нов­ные све­де­ния о квад­ра­тич­ной функ­ции.

Опре­де­ле­ние:

Квад­ра­тич­ной функ­ци­ей на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида  , где 

Здесь х – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, а, b, с – трой­ка чисел, ко­то­рые опре­де­ля­ют дан­ную квад­ра­тич­ную функ­цию, у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная;

Чтобы найти корни квад­ра­тич­ной функ­ции, игрек при­рав­ни­ва­ют к нулю, и если корни су­ще­ству­ют, то они вы­чис­ля­ют­ся по фор­му­ле:

 – дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния;

Гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции – это па­ра­бо­ла, при­чем если , то ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх.

У каж­дой па­ра­бо­лы есть вер­ши­на. Ко­ор­ди­на­ты вер­ши­ны () вы­чис­ля­ют­ся по фор­му­лам:

При ра­бо­те с квад­ра­тич­ной функ­ци­ей необ­хо­ди­мо вы­де­лять пол­ный квад­рат. После вы­де­ле­ния пол­но­го квад­ра­та квад­ра­тич­ная функ­ция вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Тео­ре­ма Виета (пря­мая):

Если  и  – корни квад­рат­но­го урав­не­ния, то они свя­за­ны с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми квад­рат­но­го урав­не­ния сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Если из­вест­ны корни квад­рат­но­го урав­не­ния, то квад­рат­ный трех­член можно сле­ду­ю­щим об­ра­зом раз­ло­жить на мно­жи­те­ли:

Кроме того, су­ще­ству­ют ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции. Внут­ри ин­тер­ва­ла кор­ней функ­ция од­но­го знака, вне ин­тер­ва­ла кор­ней функ­ция дру­го­го знака.

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

Рас­кро­ем скоб­ки и пе­ре­не­сем все члены в левую часть урав­не­ния:

Корни дан­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния:

Корни квад­рат­но­го урав­не­ния су­ще­ству­ют, когда под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние неот­ри­ца­тель­но, т. е. когда дис­кри­ми­нант боль­ше либо равен нулю.

Когда дис­кри­ми­нант по­ло­жи­те­лен, урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня.

Когда дис­кри­ми­нант равен нулю, урав­не­ние имеет два сов­па­да­ю­щих корня, ко­то­рые сов­па­да­ют с вер­ши­ной па­ра­бо­лы: 

Ответ: при  урав­не­ние не имеет ре­ше­ний; при  ; при  

Итак, мы видим спе­ци­фи­ку квад­рат­но­го урав­не­ния: оно может иметь один ко­рень, два корня или не иметь кор­ней.

Квад­ра­тич­ную функ­цию с па­ра­мет­ром можно пред­ста­вить в сле­ду­ю­щем виде:

Здесь t – па­ра­метр. Если мы за­да­дим кон­крет­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра t, то мы за­да­дим трой­ку чисел, опре­де­ля­ю­щих кон­крет­ную квад­ра­тич­ную функ­цию. Как мы видим, па­ра­метр – это управ­ле­ние, он управ­ля­ет всей кри­вой, в част­но­сти, рас­по­ло­же­ни­ем кор­ней.

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

В дан­ном слу­чае при  стоит па­ра­метр t, зна­чит, за­дан­ное урав­не­ние может быть как квад­рат­ным, так и ли­ней­ным. Рас­смот­рим два слу­чая:

Те­перь рас­смот­рим квад­рат­ное урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

По­лу­чи­ли квад­рат­ное урав­не­ние. Ре­ша­ем его любым спо­со­бом и по­лу­ча­ем корни: 

Таким об­ра­зом, имеем:

На­ли­чие кор­ней в квад­рат­ном урав­не­нии за­ви­сит от знака дис­кри­ми­нан­та, мы вы­яс­ни­ли, что в дан­ном слу­чае дис­кри­ми­нант есть квад­ра­тич­ная функ­ция от t. Дан­ную функ­цию легко ис­сле­до­вать. Про­ил­лю­стри­ру­ем:

Рис. 1. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции 

Оче­вид­но, что внут­ри ин­тер­ва­ла кор­ней дис­кри­ми­нант от­ри­ца­те­лен, вне ин­тер­ва­ла кор­ней – по­ло­жи­те­лен. Те­перь легко можем дать ответ к по­став­лен­ной за­да­че.

Ответ: при ; при ; при ; при: при  

 

 3. Квадратичные неравенства с параметром

При­мер 3 – найти зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при любых зна­че­ни­ях х:

Ре­ше­ние ос­но­ва­но на свой­ствах функ­ции, сто­я­щей в левой части, дан­ная функ­ция за­ви­сит от х и от па­ра­мет­ра а.

По­ве­де­ние функ­ции за­ви­сит от стар­ше­го ко­эф­фи­ци­ен­та а. Рас­смот­рим воз­мож­ные ва­ри­ан­ты:

1. . Имеем па­ра­бо­лу, на­прав­лен­ную вет­вя­ми вниз. В за­ви­си­мо­сти от зна­че­ния дис­кри­ми­нан­та за­дан­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния, па­ра­бо­ла может на­хо­дить­ся пол­но­стью под осью х (нера­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся ни при каких х), ка­сать­ся ее в вер­шине (нера­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся ни при каких х), или пе­ре­се­кать в кор­нях урав­не­ния, в этом слу­чае внут­ри ин­тер­ва­ла кор­ней функ­ция по­ло­жи­тель­на и нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся, но вне ин­тер­ва­ла кор­ней функ­ция от­ри­ца­тель­на и нера­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся.

2. . Под­ста­вив в за­дан­ное нера­вен­ство, по­лу­ча­ем: , по­став­лен­ная за­да­ча не вы­пол­ня­ет­ся.

3. . Имеем па­ра­бо­лу, на­прав­лен­ную вет­вя­ми вверх. В за­ви­си­мо­сти от зна­че­ния дис­кри­ми­нан­та за­дан­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния, па­ра­бо­ла может на­хо­дить­ся пол­но­стью над осью х (нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся все­гда), ка­сать­ся ее в вер­шине (нера­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся в вер­шине па­ра­бо­лы), или пе­ре­се­кать в кор­нях урав­не­ния, в этом слу­чае внут­ри ин­тер­ва­ла кор­ней функ­ция от­ри­ца­тель­на и нера­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся.

Таким об­ра­зом, нас удо­вле­тво­рят по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, при ко­то­рых урав­не­ние не имеет кор­ней, т. е. его дис­кри­ми­нант от­ри­ца­те­лен:

Имеем квад­рат­ное нера­вен­ство:

Ис­сле­ду­ем по­лу­чен­ное квад­рат­ное урав­не­ние:

Имеем па­ра­бо­лу, на­прав­лен­ную вет­вя­ми вверх, ее зна­че­ния по­ло­жи­тель­ны вне ин­тер­ва­ла кор­ней: . Нас ин­те­ре­су­ют толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра.

Ответ: при  нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при любых зна­че­ни­ях х.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/kvadratichnaya-funktsiya-v-zadachah-s-parametrom

http://www.youtube.com/watch?v=TYzaVbKrNGo

http://www.youtube.com/watch?v=8wHbu2x0Heg

http://www.youtube.com/watch?v=_ISw4Zsrybk

http://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ

http://свенцицкая.рф/wp-content/uploads/2015/11/%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D0%B2-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%D1%85-%D1%81-%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC..docx

http://narxoz.org/forum/uploads/monthly_10_2014/post-256367-0-31583100-1412577130.jpg

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-042*page.htm

 

Файлы