11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Комментарии преподавателя

Ли­ней­ная функ­ция в за­да­чах с па­ра­мет­ром

 1. Суть решения задач с параметром

На­пом­ним смысл вы­ра­же­ния «ре­шить с па­ра­мет­ром» – можно ре­шать урав­не­ния, нера­вен­ства, си­сте­мы с па­ра­мет­ром.

Ре­шить за­да­чу, на­при­мер, урав­не­ние  или нера­вен­ство  с па­ра­мет­ром а – озна­ча­ет «пе­ре­брать» все зна­че­ния па­ра­мет­ра и для каж­до­го из них ука­зать ответ.

 2. Решение линейного уравнения с параметром

По­яс­ним на кон­крет­ных при­ме­рах.

При­мер 1 – ре­шить ли­ней­ное урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

Если бы мы знали кон­крет­ное зна­че­ние па­ра­мет­ра, мы могли бы легко ре­шить урав­не­ние, раз­де­лив сво­бод­ный член на ко­эф­фи­ци­ент при х. По­это­му, чтобы ре­шить за­дан­ное урав­не­ние с па­ра­мет­ром, необ­хо­ди­мо сна­ча­ла со­брать все члены с х в одной части урав­не­ния, а все осталь­ные члены – в дру­гой:

Вы­не­сем в левой части общий мно­жи­тель за скоб­ки:

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов:

те­перь можно было бы раз­де­лить пра­вую часть на ко­эф­фи­ци­ент при х, де­ле­ние можно вы­пол­нить, когда ко­эф­фи­ци­ент не равен нулю, но он за­ви­сит от па­ра­мет­ра а. В дан­ном слу­чае ко­эф­фи­ци­ент равен нулю при . То есть нужно рас­смот­реть три слу­чая, таким об­ра­зом пе­ре­брать все зна­че­ния па­ра­мет­ра:

Ответ: при ; при ; при  

 

Ре­шен­ный при­мер под­твер­жда­ет из­вест­ную спе­ци­фи­ку ли­ней­но­го урав­не­ния или си­сте­мы ли­ней­ных урав­не­ний. Она за­клю­ча­ет­ся в том, что такое урав­не­ние или си­сте­ма может иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний или вовсе не иметь ре­ше­ний.

 

 3. Решение линейного неравенства с параметром

Рас­смот­рим ли­ней­ные нера­вен­ства с па­ра­мет­ром.

При­мер 2 – ре­шить ли­ней­ное нера­вен­ство с па­ра­мет­ром:

Ана­ло­гич­но ре­ше­нию урав­не­ния, пе­ре­но­сим члены с х в одну сто­ро­ну и пре­об­ра­зо­вы­ва­ем:

Те­перь мы можем де­лить на ко­эф­фи­ци­ент перед х, рас­смот­рим три слу­чая – ко­эф­фи­ци­ент по­ло­жи­те­лен, равен нулю и от­ри­ца­те­лен:

Ответ: при  ;

при  ;

при  

 4. Решение системы линейных уравнений с параметром

Рас­смот­рим си­сте­му двух ли­ней­ных урав­не­ний с па­ра­мет­ром.

При­мер 3 – ре­шить си­сте­му урав­не­ний с па­ра­мет­ром:

Вы­ра­зим во вто­ром урав­не­нии х и под­ста­вим в пер­вое урав­не­ние:

По­лу­чи­ли одно ли­ней­ное урав­не­ние с одной неиз­вест­ной, упро­ща­ем его:

Таким об­ра­зом, в ре­зуль­та­те пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­че­на си­сте­ма:

Те­перь необ­хо­ди­мо ре­шить пер­вое урав­не­ние си­сте­мы. При этом нужно рас­смот­реть слу­чаи, когда ко­эф­фи­ци­ент перед у равен нулю и не равен нулю:

Ответ: при  ; при  си­сте­ма не имеет ре­ше­ний; при  

Рас­смот­рим по­дроб­нее слу­чай, когда за­дан­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, то есть когда , под­ста­вим зна­че­ние а в урав­не­ния си­сте­мы:

По­де­лим пер­вое урав­не­ние на два:

По­лу­че­но явное про­ти­во­ре­чие, оче­вид­но, что си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Вы­ра­зим в обоих урав­не­ни­ях у:

Про­ил­лю­стри­ру­ем:

Рис. 1. Гра­фи­ки функ­ций  и 

Пря­мые па­рал­лель­ны, и си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/lineynaya-funktsiya-v-zadachah-s-parametrom

http://www.youtube.com/watch?v=5sX6rOnAmS8

http://www.youtube.com/watch?v=1BD7DPzsS4I

http://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-042*page.htm

 

Файлы