11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Решением уравнения с двумя переменными p(x;y)=0 называют ...

Комментарии преподавателя

Урав­не­ния и нера­вен­ства с па­ра­мет­ром, про­стей­шие при­ме­ры

 1. Суть решения задач с параметром, простейшие примеры

На­пом­ним смысл вы­ра­же­ния «ре­шить с па­ра­мет­ром» – можно ре­шать урав­не­ния, нера­вен­ства, си­сте­мы с па­ра­мет­ром.

Ре­шить за­да­чу, на­при­мер урав­не­ние  или нера­вен­ство  с па­ра­мет­ром а – озна­ча­ет «пе­ре­брать» все зна­че­ния па­ра­мет­ра и для каж­до­го из них ука­зать ответ.

 2. Решение уравнений с параметром 

По­яс­ним на про­стей­ших при­ме­рах.

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

За­да­ча со­сто­ит в том, чтобы для каж­до­го зна­че­ния па­ра­мет­ра  ре­шить урав­не­ние от­но­си­тель­но .

Пусть , тогда имеем про­стей­шее ли­ней­ное урав­не­ние:

В общем слу­чае в дан­ном урав­не­нии воз­мож­ны два ва­ри­ан­та ре­ше­ния – когда можно де­лить на ко­эф­фи­ци­ент а и когда нель­зя, необ­хо­ди­мо пе­ре­брать все до­пу­сти­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра а ()

Рас­смот­рим два слу­чая. При  мы не имеем права раз­де­лить еди­ни­цу на ко­эф­фи­ци­ент а, по­это­му под­став­ля­ем зна­че­ние ноль в за­дан­ное урав­не­ние и изу­ча­ем его. При любых дру­гих зна­че­ни­ях а имеем право вы­пол­нить де­ле­ние:

Ответ: при  ре­ше­ний нет, при 

Рас­смот­рим ре­ше­ние про­стей­ше­го нера­вен­ства с па­ра­мет­ром.

 3. Решение неравенства с параметром  

Рас­смот­рим ре­ше­ние про­стей­ше­го нера­вен­ства с па­ра­мет­ром.

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство с па­ра­мет­ром:

Если а – кон­крет­ное число, мы можем легко ре­шить за­дан­ное нера­вен­ство, на­при­мер:

у нас же есть ко­эф­фи­ци­ент а в общем виде. Рас­смот­рим три слу­чая:

Ответ: при  ре­ше­ний нет; при  ; при  

При­мер 3 – ре­шить урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

Дробь равна нулю тогда и толь­ко тогда, когда чис­ли­тель ее равен нулю, а зна­ме­на­тель не равен нулю:

Зна­че­ние па­ра­мет­ра может быть любым. Рас­смот­рим два слу­чая:

При этом по­лу­ча­ем в пер­вом слу­чае: х с одной сто­ро­ны равен пяти, т. к. , а с дру­гой сто­ро­ны не равен пяти, т. к. зна­ме­на­тель дроби не может быть равен нулю, кроме того по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние , а та­ко­го вы­ра­же­ния не су­ще­ству­ет.

Когда , про­ти­во­ре­чий не воз­ни­ка­ет

Ответ: при  ре­ше­ний нет, при 

При­мер 4 – ре­шить урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

Зна­че­ние а может быть любым, но квад­рат­ный ко­рень – это стро­го неот­ри­ца­тель­ное число. Сле­до­ва­тель­но, рас­смат­ри­ва­ем два слу­чая:

Ответ: при  ; при   

 4. Решение иррационального уравнения с параметром

Решим ир­ра­ци­о­наль­ное нера­вен­ство с па­ра­мет­ром.

При­мер 5 – ре­шить нера­вен­ство с па­ра­мет­ром:

Ис­сле­ду­ем дан­ное нера­вен­ство.

х стоит под зна­ком квад­рат­но­го корня, зна­чит до­пу­сти­мые зна­че­ния по х  - все неот­ри­ца­тель­ные зна­че­ния. а может при­ни­мать любые зна­че­ния. рас­смот­рим три слу­чая. Если  мень­ше нуля и ко­рень су­ще­ству­ет, то нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся. Если , любой неот­ри­ца­тель­ный х удо­вле­тво­ря­ет нера­вен­ству. Если же  боль­ше нуля, имеем право воз­ве­сти в квад­рат:

Ответ: при  ; при  

Рас­смот­рим ре­ше­ние дан­но­го нера­вен­ства гра­фи­че­ским ме­то­дом. Для этого сна­ча­ла стро­им гра­фик функ­ции, сто­я­щей в левой части: , об­ласть опре­де­ле­ния дан­ной функ­ции . Рас­се­ка­ем по­лу­чен­ную кри­вую се­мей­ством пря­мых  и на­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния.

По ри­сун­ку оче­вид­но, что когда  , кри­вая на­хо­дит­ся над пря­мой при всех до­пу­сти­мых х, то есть при всех до­пу­сти­мых х нера­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся.

Если а по­ло­жи­тель­но, кри­вая имеет един­ствен­ную точку пе­ре­се­че­ния с пря­мой и кри­вая на­хо­дит­ся выше пря­мой пра­вее точки пе­ре­се­че­ния, абс­цис­са точки пе­ре­се­че­ния , по­это­му ре­ше­ни­ем нера­вен­ства яв­ля­ет­ся 

Оче­вид­но, что ответ сов­па­да­ет с от­ве­том при ре­ше­нии ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом.

 

При­мер 6 – ре­шить урав­не­ние с па­ра­мет­ром:

Про­из­ве­де­ние двух мно­жи­те­лей равно нулю тогда и толь­ко тогда, когда хотя бы один из мно­жи­те­лей равен нулю, а вто­рой при этом су­ще­ству­ет.

Рас­смат­ри­ва­ем два ва­ри­ан­та – либо , но ко­рень при этом дол­жен су­ще­ство­вать, либо , в таком слу­чае а – любое число:

Ответ: при  ; при 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных про­стых задач, в ко­то­рых при­сут­ству­ет па­ра­метр.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/uravneniya-i-neravenstva-s-parametrom-prosteyshie-primery

http://www.youtube.com/watch?v=WT1oP8NCWfs

http://www.youtube.com/watch?v=TJtZXiD3zrk

http://www.youtube.com/watch?v=aZGFshftUeA

http://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-042*page.htm

http://www.docme.ru/download/check

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/12/01/parametry.pptx

 

Файлы