11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Комментарии преподавателя

Си­сте­мы урав­не­ний. Метод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных

 1. Основные сведения о системах уравнений и их решении

Рас­смот­рим си­сте­мы двух урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми (1) и трех урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми (2).

Здесь р и q – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от пары пе­ре­мен­ных х и у.

Здесь р, q и r – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от трой­ки пе­ре­мен­ных х, у и z.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 1 на­зы­ва­ет­ся пара чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 2 на­зы­ва­ет­ся трой­ка чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Ре­шить си­сте­му урав­не­ний озна­ча­ет найти мно­же­ство всех ее ре­ше­ний.

Чтобы найти мно­же­ство всех ре­ше­ний си­сте­мы, лучше всего поль­зо­вать­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми или рав­но­силь­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми, то есть та­ки­ми, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют мно­же­ство ре­ше­ний. В ре­зуль­та­те таких пре­об­ра­зо­ва­ний мы по­лу­ча­ем рав­но­силь­ные си­сте­мы, то есть име­ю­щие одно и то же мно­же­ство ре­ше­ний

Таким об­ра­зом, про­цесс ре­ше­ния си­сте­мы сво­дит­ся к по­сте­пен­но­му пе­ре­хо­ду от за­дан­ной слож­ной си­сте­мы к все более про­стой и так до тех пор, пока не по­лу­чим ответ.

При ис­поль­зо­ва­нии эк­ви­ва­лент­ных пре­об­ра­зо­ва­ний про­вер­ка ре­ше­ний не яв­ля­ет­ся обя­за­тель­ной.

Ме­то­ды ре­ше­ния си­стем с по­мо­щью эк­ви­ва­лент­ных пре­об­ра­зо­ва­ний:

-ме­тод под­ста­нов­ки;           

-ме­тод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния;

-ме­тод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных;

 2. Суть метода введения новых переменных 

Цель дан­но­го урока – метод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных. Рас­смот­рим суть ме­то­да на кон­крет­ном при­ме­ре:

Неслож­но за­ме­тить в обоих урав­не­ни­ях си­сте­мы оди­на­ко­вые вы­ра­же­ния. По­это­му пер­вым дей­стви­ем вво­дим новые пе­ре­мен­ные:

Вы­пол­ня­ем за­ме­ну:

По­лу­че­на про­стей­шая ли­ней­ная си­сте­ма, ко­то­рую можем ре­шить любым из ранее рас­смот­рен­ных спо­со­бов. Решим с по­мо­щью ме­то­да под­ста­нов­ки. Вы­ра­зим а в пер­вом урав­не­нии и под­ста­вим во вто­рое:

Те­перь необ­хо­ди­мо вер­нуть­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Ни один из зна­ме­на­те­лей не равен нулю, зна­чит ОДЗ со­блю­де­но. Про­дол­жим ре­ше­ние. По­лу­чен­ную си­сте­му можно ре­шать раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми, решим ее ме­то­дом под­ста­нов­ки, вы­ра­зим х во вто­ром урав­не­нии и под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Ответ: (2;1)

 

 3. Решение системы тригонометрических уравнений

Спе­ци­фи­ка сле­ду­ю­щей три­го­но­мет­ри­че­ской си­сте­мы поз­во­ля­ет вос­поль­зо­вать­ся ме­то­дом вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных.

При­мер 1 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных:

Вво­дим и изу­ча­ем новые пе­ре­мен­ные:

Про­из­во­дим за­ме­ну:

По­лу­чен­ную си­сте­му можно ре­шать раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми, мы при­ме­ним метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния:

Под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние и най­дем а:

Най­ден­ные зна­че­ния удо­вле­тво­ря­ют ОДЗ. Пе­ре­хо­дим к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Ответ: (), (), 

Об­ра­тим вни­ма­ние, что здесь n и k никак не свя­за­ны между собой и при на­хож­де­нии зна­че­ний х и у нужно ста­вить раз­ные це­ло­чис­лен­ные пе­ре­мен­ные.

 

 4. Решение системы логарифмических уравнений

При­мер 2 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных:

Оче­вид­на за­ме­на:

Не за­бы­ва­ем про ОДЗ: 

Пре­об­ра­зу­ем:

Решим по­лу­чен­ную си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки, вы­ра­зим в пер­вом урав­не­нии а и под­ста­вим во вто­рое урав­не­ние:

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Ответ: (0,1;0,01), (100;10)

Итак, мы рас­смот­ре­ли метод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных при ре­ше­нии си­стем.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/sistemy-uravneniy-metod-vvedeniya-novyh-peremennyh

http://www.youtube.com/watch?v=bDJgQu5XGHA

http://www.youtube.com/watch?v=E9d-ENkJ_KY

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://pandia.ru/text/79/149/82232.php

 

Файлы