11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Для решения систем уравнений применяют методы: ...

Комментарии преподавателя

Си­сте­мы урав­не­ний. Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния

 1. Основные сведения о системах уравнений и их решении

Рас­смот­рим си­сте­мы двух урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми (1) и трех урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми (2).

Здесь р и q – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от пары пе­ре­мен­ных х и у.

Здесь р, q и r – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от трой­ки пе­ре­мен­ных х, у и z.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 1 на­зы­ва­ет­ся пара чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 2 на­зы­ва­ет­ся трой­ка чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Ре­шить си­сте­му урав­не­ний озна­ча­ет найти мно­же­ство всех ее ре­ше­ний.

Чтобы найти мно­же­ство всех ре­ше­ний си­сте­мы, лучше всего поль­зо­вать­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми или рав­но­силь­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми, то есть та­ки­ми, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют мно­же­ство ре­ше­ний. В ре­зуль­та­те таких пре­об­ра­зо­ва­ний мы по­лу­ча­ем рав­но­силь­ные си­сте­мы, то есть име­ю­щие одно и то же мно­же­ство ре­ше­ний

Таким об­ра­зом, про­цесс ре­ше­ния си­сте­мы сво­дит­ся к по­сте­пен­но­му пе­ре­хо­ду от за­дан­ной слож­ной си­сте­мы к все более про­стой и так до тех пор, пока не по­лу­чим ответ.

При ис­поль­зо­ва­нии эк­ви­ва­лент­ных пре­об­ра­зо­ва­ний про­вер­ка ре­ше­ний не яв­ля­ет­ся обя­за­тель­ной.

Ме­то­ды ре­ше­ния си­стем с по­мо­щью эк­ви­ва­лент­ных пре­об­ра­зо­ва­ний:

-ме­тод под­ста­нов­ки;           

-ме­тод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния;

-ме­тод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных;

 2. Решение линейных систем двух и трех уравнений 

Цель дан­но­го урока – метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, на­пом­ним его на про­стей­шем при­ме­ре. Рас­смот­рим си­сте­му двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми:

Неслож­но за­ме­тить, что если пер­вое урав­не­ние умно­жить на минус три и сло­жить со вто­рым, то мы из­ба­вим­ся от у. пре­об­ра­зу­ем:

Те­перь можно под­ста­вить зна­че­ние х в любое урав­не­ние и найти у, под­ста­вим во вто­рое:

Ответ: (-1;1)

Мы по­лу­чи­ли един­ствен­ное ре­ше­ние и это можно пред­ви­деть. Оба урав­не­ния си­сте­мы ли­ней­ны, гео­мет­ри­че­ский образ каж­до­го из них – пря­мая. ко­эф­фи­ци­ен­ты перед х не про­пор­ци­о­наль­ны, ко­эф­фи­ци­ен­ты перед у непро­пор­ци­о­наль­ны, зна­чит пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся и мы имеем един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы.

Рас­смот­рим си­сте­му трех ли­ней­ных урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми:

Пер­вое урав­не­ние оста­вим без из­ме­не­ний, в нем удо­бен ко­эф­фи­ци­ент перед х, рав­ный еди­ни­це, это так на­зы­ва­е­мый на­прав­ля­ю­щий эле­мент.

Чтобы из­ба­вить­ся от х во вто­ром урав­не­нии умно­жим пер­вое урав­не­ние на минус два и сло­жим со вто­рым.

Чтобы из­ба­вить­ся от х в тре­тьем урав­не­нии умно­жим пер­вое урав­не­ние на минус еди­ни­цу и сло­жим с тре­тьим.

Пре­об­ра­зу­ем:

Так как мы легко нашли z, под­ста­вим его зна­че­ние в пер­вое и тре­тье урав­не­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние у в пер­вое урав­не­ние и най­дем х:

Ответ: ()

Мы по­лу­чи­ли един­ствен­ное ре­ше­ние и это можно было пред­ви­деть. Гео­мет­ри­че­ским об­ра­зом каж­до­го урав­не­ния дан­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся плос­кость. Все три плос­ко­сти могут пе­ре­сечь­ся в одной точке. Линия пе­ре­се­че­ния двух плос­ко­стей пе­ре­се­ка­ет­ся с тре­тьей плос­ко­стью и в ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся един­ствен­ная точка пе­ре­се­че­ния – един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы трех ли­ней­ных урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми.

На­пом­ним, что си­сте­мы ли­ней­ных урав­не­ний могут либо иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, либо бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний, либо не иметь ре­ше­ний вовсе.

В дан­ном слу­чае си­сте­ма не имела бы ре­ше­ний, если бы плос­ко­сти были па­рал­лель­ны. Та­ко­ва гео­мет­ри­че­ская ин­тер­пре­та­ция дан­ной си­сте­мы.

 3. Решение нелинейных систем двух уравнений

При­мер 1 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния:

За на­прав­ля­ю­щий эле­мент при­мем ко­эф­фи­ци­ент еди­ни­цу перед х в пер­вом урав­не­нии.

Оста­вим х в пер­вом урав­не­нии и ис­клю­чим его из осталь­ных урав­не­ний.

Чтобы из­ба­вить­ся от х во вто­ром урав­не­нии умно­жим пер­вое урав­не­ние на два и сло­жим со вто­рым.

Чтобы из­ба­вить­ся от х в тре­тьем урав­не­нии сло­жим пер­вое урав­не­ние с тре­тьим.

Пре­об­ра­зу­ем:

После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­чи­ли си­сте­му:

Те­перь из­ба­вим­ся от у. за на­прав­ля­ю­щий эле­мент вы­бе­рем у с ко­эф­фи­ци­ен­том еди­ни­ца во вто­ром урав­не­нии.

Чтобы из­ба­вить­ся от у в пер­вом урав­не­нии умно­жим вто­рое урав­не­ние на минус еди­ни­цу и сло­жим с пер­вым.

Чтобы из­ба­вить­ся от у в тре­тьем урав­не­нии умно­жим вто­рое урав­не­ние на минус три и сло­жим с тре­тьим.

Пре­об­ра­зу­ем:

По­лу­чи­ли си­сте­му:

Те­перь можем легко найти z:

Под­ста­вим z в пер­вое и вто­рое урав­не­ние:

Ответ: (1;-1;1)

Рас­смот­рим нели­ней­ную си­сте­му.

При­мер 2 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния:

Неслож­но за­ме­тить, что можно ис­клю­чить у. для этого умно­жим пер­вое урав­не­ние на минус два и сло­жим со вто­рым:

Ре­ша­ем по­лу­чен­ное квад­рат­ное урав­не­ние любым спо­со­бом и на­хо­дим его корни:

На­хо­дим у, под­ста­вив най­ден­ное зна­че­ние в любое урав­не­ние, на­при­мер в пер­вое:

Ответ: (1;1), (1;-1)

Рас­смот­рим си­сте­му с ир­ра­ци­о­наль­ны­ми вы­ра­же­ни­я­ми.

При­мер 3 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния:

Неслож­но за­ме­тить, что можно ис­клю­чить у. для этого умно­жим вто­рое урав­не­ние на минус три и сло­жим с пер­вым:

По­лу­чи­ли урав­не­ние с одной неиз­вест­ной. Ре­ша­ем его и на­хо­дим х:

На­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние у:

По­сколь­ку в урав­не­ни­ях при­сут­ству­ют квад­рат­ные корни, про­ве­ря­ем ОДЗ и толь­ко после этого вы­пи­сы­ва­ем ответ.

Ответ: (4;1)

При­мер 4 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния:

Оче­вид­но, что здесь нужно из­ба­вить­ся от у, для этого сло­жим урав­не­ния:

По­лу­чи­ли урав­не­ние с одной неиз­вест­ной. Ре­ша­ем его и на­хо­дим х:

На­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние у:

Ответ: (1;1)

Итак, мы рас­смот­ре­ли метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния при ре­ше­нии раз­лич­ных си­стем урав­не­ний

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/sistemy-uravneniy-metod-algebraicheskogo-slozheniya

http://www.youtube.com/watch?v=IYbN7MlNB1k

http://www.youtube.com/watch?v=LSFtLW_NyYs

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы