11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.

Комментарии преподавателя

Си­сте­мы урав­не­ний. Ос­нов­ные све­де­ния и при­ме­ры

 1. Основные сведения о системах уравнений и их решении

Рас­смот­рим си­сте­мы двух урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми (1) и трех урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми (2).

Здесь р и q – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от х и у.

Здесь р, q и r – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от х, у и z.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 1 на­зы­ва­ет­ся пара чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 2 на­зы­ва­ет­ся трой­ка чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Ре­шить си­сте­му урав­не­ний – озна­ча­ет найти мно­же­ство всех ее ре­ше­ний.

Чтобы найти мно­же­ство всех ре­ше­ний си­сте­мы, лучше всего поль­зо­вать­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми или рав­но­силь­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми, то есть та­ки­ми, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют мно­же­ство ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, про­цесс ре­ше­ния си­сте­мы сво­дит­ся к по­сте­пен­но­му пе­ре­хо­ду от за­дан­ной слож­ной си­сте­мы к все более про­стой и так до тех пор, пока не по­лу­чим ответ.

После по­лу­че­ния от­ве­та можно вы­пол­нить про­вер­ку, под­ста­вив най­ден­ные ре­ше­ния в ис­ход­ную си­сте­му, но если при ре­ше­нии были при­ме­не­ны толь­ко рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния, то про­вер­ку вы­пол­нять прин­ци­пи­аль­но не обя­за­тель­но.

Ме­то­ды ре­ше­ния си­стем с по­мо­щью эк­ви­ва­лент­ных пре­об­ра­зо­ва­ний:

-ме­тод под­ста­нов­ки;           

-ме­тод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния;

-ме­тод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных;

Не все­гда уда­ет­ся со­хра­нить рав­но­силь­ность пре­об­ра­зо­ва­ний, в таких слу­ча­ях при­хо­дит­ся при­бе­гать к пе­ре­хо­ду к след­ствию. Пусть мы упро­сти­ли ис­ход­ную си­сте­му (си­сте­ма вида 1) и по­лу­чи­ли неко­то­рую новую. Если в ис­ход­ной си­сте­ме было два ре­ше­ния – две пары чисел х и у, то в новой си­сте­ме эти ре­ше­ния со­хра­нят­ся, но до­ба­вят­ся новые – по­сто­рон­ние ре­ше­ния. В таких слу­ча­ях необ­хо­ди­мо вы­пол­нить про­вер­ку, найти и от­бро­сить по­сто­рон­ние ре­ше­ния и толь­ко после этого вы­пи­сать ответ.

Об­ра­тим вни­ма­ние, что при ре­ше­нии си­стем недо­пу­сти­ма по­те­ря ре­ше­ний. Одной из важ­ных при­чин таких по­терь яв­ля­ет­ся суже­ние ОДЗ при упро­ще­нии си­сте­мы. То есть, на­при­мер,  в ис­ход­ной си­сте­ме вида 1 было два ре­ше­ния, а в ре­зуль­та­те по­лу­че­на си­сте­ма, име­ю­щая един­ствен­ное ре­ше­ние. По­это­му важно во время пре­об­ра­зо­ва­ний сле­дить за об­ла­стью до­пу­сти­мых зна­че­ний.

 2. Примеры решения систем уравнений

При­мер 1 – ре­шить си­сте­му:

В пер­вом урав­не­нии вы­ра­зим у через х, вто­рое урав­не­ние без из­ме­не­ний:

Под­став­ля­ем по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние:

Под­став­ля­ем най­ден­ное зна­че­ние х в пер­вое урав­не­ние и на­хо­дим у:

По­сколь­ку при ре­ше­нии мы поль­зо­ва­лись эк­ви­ва­лент­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми, про­вер­ку вы­пол­нять не нужно.

Ответ: (1;1)

При­мер 2 – ре­шить си­сте­му:

Дан­ную си­сте­му можно ре­шать раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми, мы пе­рей­дем к след­ствию – вос­поль­зу­ем­ся свой­ства­ми ло­га­риф­ма:

По­лу­чи­ли про­стую си­сте­му с двумя неиз­вест­ны­ми, ре­ша­ем ее:

По­сколь­ку не все­гда при ре­ше­нии си­сте­мы при­ме­ня­лись рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния, обя­за­тель­на про­вер­ка. Вто­рое ре­ше­ние () не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ, его сле­ду­ет от­бро­сить.

Ответ: ()

 

 3. Потеря корней при решении систем

Рас­смот­рим неко­то­рые фор­му­лы и их осо­бен­но­сти, ко­то­рые при­во­дят к по­те­ре ре­ше­ний.

1. 

Когда n – на­ту­раль­ное число, левое вы­ра­же­ние спра­вед­ли­во при любом зна­че­нии х, кроме нуля, а пра­вое спра­вед­ли­во уже толь­ко при по­ло­жи­тель­ных х, про­изо­шло суже­ние ОДЗ. Для со­хра­не­ния рав­но­силь­но­сти необ­хо­ди­мо ис­поль­зо­вать мо­дуль:

2. 

Про­ана­ли­зи­ру­ем ОДЗ. Для левой части:

Для пра­вой части:

Суже­ние ОДЗ в дан­ном слу­чае про­де­мон­стри­ро­ва­но на ри­сун­ке 1:

Cужение ОДЗ

Рис. 1. Cу­же­ние ОДЗ

Чтобы из­бе­жать дан­ной си­ту­а­ции, по­ста­вим мо­дуль, при этом про­изой­дет рас­ши­ре­ние ОДЗ, что не так страш­но:

Те­перь в пра­вой части и х, и у могут быть любым чис­лом.

Си­сте­мы урав­не­ний. Метод под­ста­нов­ки

 Часть вторая. 1. Основные сведения о системах уравнений и их решении

Рас­смот­рим си­сте­мы двух урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми (1) и трех урав­не­ний с тремя неиз­вест­ны­ми (2).

Здесь р и q – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от пары пе­ре­мен­ных х и у.

Здесь р, q и r – неко­то­рые вы­ра­же­ния, за­ви­ся­щие от трой­ки пе­ре­мен­ных х, у и z.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 1 на­зы­ва­ет­ся пара чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Част­ным ре­ше­ни­ем си­сте­мы 2 на­зы­ва­ет­ся трой­ка чисел () такая, при под­ста­нов­ке ко­то­рой в урав­не­ния си­сте­мы по­лу­чим вер­ные ра­вен­ства.

Ре­шить си­сте­му урав­не­ний озна­ча­ет найти мно­же­ство всех ее ре­ше­ний.

Чтобы найти мно­же­ство всех ре­ше­ний си­сте­мы, лучше всего поль­зо­вать­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми или рав­но­силь­ны­ми пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми, то есть та­ки­ми, ко­то­рые не ис­ка­жа­ют мно­же­ство ре­ше­ний. В ре­зуль­та­те таких пре­об­ра­зо­ва­ний мы по­лу­ча­ем рав­но­силь­ные си­сте­мы, то есть име­ю­щие одно и то же мно­же­ство ре­ше­ний

Таким об­ра­зом, про­цесс ре­ше­ния си­сте­мы сво­дит­ся к по­сте­пен­но­му пе­ре­хо­ду от за­дан­ной слож­ной си­сте­мы к все более про­стой и так до тех пор, пока не по­лу­чим ответ.

Ме­то­ды ре­ше­ния си­стем с по­мо­щью эк­ви­ва­лент­ных пре­об­ра­зо­ва­ний:

-ме­тод под­ста­нов­ки;           

-ме­тод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния;

-ме­тод вве­де­ния новых пе­ре­мен­ных;

 2. Суть метода подстановки

По­вто­рим метод под­ста­нов­ки. На­пом­ним суть дан­но­го ме­то­да. Мы рас­смат­ри­ва­ем за­дан­ную си­сте­му вида 1 и за­ме­ча­ем, что в одном из урав­не­ний, пусть во вто­ром, легко вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через дру­гую, пусть у через х:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние под­став­ля­ем в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Таким об­ра­зом мы по­лу­ча­ем одно урав­не­ние (в дан­ном слу­чае пер­вое) толь­ко от­но­си­тель­но х. ре­ша­ем это урав­не­ние, на­хо­дим все зна­че­ния х, под­став­ля­ем их в вы­ра­же­ние для у и на­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния у.

 3. Решение примеров

При­мер 1 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки:

В дан­ном слу­чае удоб­но из пер­во­го урав­не­ния вы­ра­зить у:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние:

На­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния у:

Ответ: (2;-1), (-1;2)

При­мер 2 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки:

В дан­ном слу­чае удоб­но из пер­во­го урав­не­ния вы­ра­зить х:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние:

На­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щее зна­че­ние х:

Ответ: (3;1)

В сле­ду­ю­щей си­сте­ме важно об­ра­тить вни­ма­ние на ОДЗ.

При­мер 3 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Ука­жем ОДЗ для пер­во­го урав­не­ния:

При со­блю­де­нии ОДЗ пер­вое урав­не­ние можно пре­об­ра­зо­вать:

Имеем си­сте­му:

В дан­ном слу­чае удоб­но из пер­во­го урав­не­ния вы­ра­зить у:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние:

На­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния у:

Све­рив­шись с ОДЗ, вы­пи­сы­ва­ем ответ.

Ответ: (5;4), (-1;0)

При­мер 4 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки:

В дан­ном слу­чае удоб­но из пер­во­го урав­не­ния вы­ра­зить у:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние:

На­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния у:

Ответ: (), ()

Об­ра­тим вни­ма­ние, что n здесь про­бе­га­ет все це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния

При­мер 5 – ре­шить си­сте­му ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние:

ОДЗ со­блю­де­но

По­лу­чи­ли рав­но­силь­ную си­сте­му:

В дан­ном слу­чае удоб­но из пер­во­го урав­не­ния вы­ра­зить у:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние:

На­хо­дим со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния у:

Ответ: (2;6)

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/sistemy-uravneniy-osnovnye-svedeniya-i-primery?seconds=0&chapter_id=824

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/sistemy-uravneniy-metod-podstanovki

http://www.youtube.com/watch?v=T7T4Fn8-db8

http://www.youtube.com/watch?v=7FalN3-_QEs

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://metodtest.ru/index.php/algebra/uravneniya/79-sistemy-uravnenij/396-reshite-sistemu-uravnenij-2x-3y-16-3x-2y-11-metodom-podstanovki.html

http://www.tutoronline.ru/blog/reshenie-sistem-uravnenij-sposobom-podstanovki

 

Файлы