8 класс. Алгебра. Рациональные числа. Понятие квадратного корня. График функции квадратного корня.
8 класс. Алгебра. Рациональные числа. Понятие квадратного корня. График функции квадратного корня.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы рассмотрим тему «Рациональные числа»
Введение
Для начала вспомним те числа, которые мы знаем:
1. N – натуральные числа (числа для счета предметов окружающего мира)
N = 
Если мы сложим два натуральных числа, то снова получим натуральное число. Например, n1 + n2 = n ∈ N 3 + 7 = 10
Вычитание может вывести нас за пределы натуральных чисел.
3 – 3 = 0 ∉ N
3 – 7 = -4 ∉ N
2. Число 0 – характеристика специфического, пустого множества.
Например, мама дала сыну 200 р., все были истрачены. В кармане осталось 0 р.
Введение числа 0 – важное событие в математике. В переводе с латыни ноль – значит «никакой». При решении уравнений мы пытаемся разложить их на множители и приравнять их к нулю. К примеру,
3. Z – целые числа (натуральные числа, отрицательные, ноль) Z = 
Множество натуральных чисел входит в множество целых чисел:
N ⊂ Z
Произведение любых целых чисел будет целым числом.
Но операция деления уже может вывести нас за пределы целых чисел. Например,
= 3 ∈ Z
∉ Z
Рациональные числа
Q – рациональные числа (множество целых чисел + дроби)
Q =
N ⊂ Z ⊂ Q
Дробь вида
может быть сократимой или несократимой. Например,
Дробь несократима, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя есть 1 (НОД (m; n) = 1).
Преимущество несократимых дробей в том, что они имеют единственную форму записи. 
– это несократимая форма записи.
Итак, можно считать, что множество рациональных чисел – это множество всех несократимых дробей. Тогда запись этого множества такова:
Q = 
Каждую дробь 
можно представить в следующем виде:
0,50000… = 0,5(0)
= 0,3333….= 0,(3)
В соответствии с этим, множество рациональных чисел можно определить как множество всех десятичных, но периодических дробей.
Важен переход от обычных дробей к десятичным. Десятичную дробь можно получить обычным делением в столбик. Например, 
(рис. 1).
Рис. 1. Деление в столбик, получение десятичной дроби
Рассмотрим десятичную дробь с периодом 9. Например 2,199…2,1(9).
Это число можно представить по-иному. Пусть 
= 2,199999…. Умножим его на 10, тогда получим 10 = 21,9999…. Вычитаем одно из другого и получим:
9 = 19,8
Вывод: если мы имеем число с периодом 9, то его можно представить иначе (
).
Такая запись дает нам возможность получить однозначность записи вместо числа с периодом.
Как мы можем записать множество рациональных чисел?
Мы можем записать множество рациональных чисел как множество несократимых дробей либо как множество десятичных дробей, конечных или периодических.
Свойства множества Q
Важной особенностью множества Q рациональных чисел является их замкнутость относительно операций:
- сложения;
- вычитания;
- умножения;
- деления (не на ноль);
- возведения в натуральную степень.
В результате этих операций с рациональными числами мы снова получаем рациональное число.
Примеры
Однако извлечение корня выводит нас за пределы множества рациональных чисел. Например, 
. Благодаря ему, мы узнаем, что такое иррациональные числа, которые мы будем рассматривать далее. – иррациональное число.
Рациональные числа довольно густо заселяют числовую прямую, но не заполняют её сплошь, оставляя места для иррациональных чисел.
Пример. Убедимся, что между 
и существует бесконечное множество рациональных чисел на числовой прямой.
и , а между ними лежит их среднее арифметическое 
. Между и лежит их среднее арифметическое, и так далее.
Натуральные числа расположены довольно редко на числовой прямой, однако, в некотором смысле, натуральных чисел столько же, сколько и рациональных чисел.
Вывод
Итак, мы рассмотрели множество рациональных чисел.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/ratsionalnye-chisla?konspekt&chapter_id=920
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=vWqRqI6TlCY