11 класс. Алгебра. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности.

11 класс. Алгебра. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности.

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел ...

Комментарии преподавателя

 Рассмотрение некоторых формул сокращенного умножения

Вспом­ним неко­то­рые фор­му­лы со­кра­щен­но­го умно­же­ния.

– фор­му­ла квад­ра­та суммы. Рас­смот­рим, как вы­ве­сти эту фор­му­лу.

 рас­кры­ва­ем скоб­ки, пе­ре­мно­жая почлен­но:.

Ана­ло­гич­но, для куба суммы:

 

Рас­кры­ва­ем скоб­ки, почлен­но пе­ре­мно­жая, по­лу­ча­ем:

 

Когда необ­хо­ди­мо будет воз­ве­сти сумму в более вы­со­кую сте­пень, умно­жать почлен­но скоб­ку на скоб­ку будет про­бле­ма­тич­но. В этом нам по­мо­жет фор­му­ла би­но­ма Нью­то­на. По опре­де­ле­нию, бином – это дву­член, то есть сумма двух сла­га­е­мых.

 Доказательство формулы бинома Ньютона

Фор­му­ла би­но­ма Нью­то­на поз­во­ля­ет воз­во­дить сумму двух сла­га­е­мых в любую сте­пень.

 

По­про­бу­ем рас­крыть скоб­ки. Вы­бе­рем из каж­дой скоб­ки . По­лу­чим . Пред­по­ло­жим, что из  скоб­ки вы­брать , а из одной скоб­ки вы­брать , по­лу­чим . Но по­лу­чит­ся такое про­из­ве­де­ние не один раз, как и в слу­чае с фор­му­ла­ми квад­ра­та суммы и куба суммы. Ведь  можно вы­брать из 1-й скоб­ки, из 2-й скоб­ки и так далее. Ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов вы­брать. по­лу­чим .

Пред­по­ло­жим, что из  ско­бок вы­бе­рем число , а из остав­ших­ся  ско­бок вы­бе­рем число . По­лу­чим .

Сколь­ко спо­со­бов из  ско­бок вы­брать число ? То есть из  ско­бок вы­брать  ско­бок, из ко­то­рых вы­брать число .  Это в точ­но­сти со­че­та­ние: вы­брать  объ­ек­тов из  без учёта по­ряд­ка, а это . По­лу­ча­ем 

Под­став­ляя все воз­мож­ные k от 0 до n, по­лу­чим фор­му­лу би­но­ма Нью­то­на:

Пе­ре­пи­шем фор­му­лу. За­ме­тим, что в фор­му­ле есть  и .

 – это ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать из  объ­ек­тов один. Таких спо­со­бов . По­это­му в фор­му­ле можно за­ме­нить на , а можно за­ме­нить на так как ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать из  объ­ек­тов один равно ко­ли­че­ству спо­со­бов вы­брать из  объ­ек­тов . Ведь вы­брать  – то же самое, что не вы­брать .

По­лу­чим:

Фор­му­ла би­но­ма Нью­то­на: =.

 Пример использования формулы бинома Ньютона для суммы 4-й степени

При­мер.

. В дан­ном ре­ше­ние был из­ме­нен по­ря­док сле­до­ва­ния: на­ча­ли не с , а с . Раз­ни­цы нет, так как  или же: 

Чтоб до­пи­сать фор­му­лу чет­вер­той сте­пе­ни суммы, нужно знать зна­че­ние  (по тре­уголь­ни­ку Пас­ка­ля (Ис­точ­ник). 

=.

 Пример использования формулы бинома Ньютона для квадрата суммы

При­мер.

Най­дем квад­рат суммы по фор­му­ле би­но­ма Нью­то­на: =.

 Формула бинома Ньютона для разности

При­мер. По­лу­че­ние фор­му­лы би­но­ма Нью­то­на для раз­но­сти

Под­ста­вим вме­сто  в фор­му­лу би­но­ма Нью­то­на :

По­лу­чим  сте­пень для суммы и  Когда в со­от­вет­ству­ю­щем при­ме­ре из фор­му­лы би­но­ма Нью­то­на число  в чет­ной сте­пе­ни – знак «-» уйдет, когда в нечет­ной сте­пе­ни – оста­нет­ся.

Фор­му­ла би­но­ма Нью­то­на для раз­но­сти:

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/elementy-matematicheskoy-statistiki-kombinatoriki-i-teorii-veroyatnosti/formula-binoma-nyutona

http://www.youtube.com/watch?v=fRKaKy4i5t4

http://www.youtube.com/watch?v=TsbAdFOLyrI

http://www.youtube.com/watch?v=BM5FTXNFe-4

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/11-klass-binom-nutona.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы