11 класс. Алгебра. Интеграл. Дифференцирование и интегрирование функций.

Комментарии преподавателя

 1. Дифференцирование показательной функции с основанием а

Опре­де­ле­ние.

Мы умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать по­ка­за­тель­ную и ло­га­риф­ми­че­скую функ­ции, если ос­но­ва­ние – число . Ис­ход­ной для нас яв­ля­ет­ся сле­ду­ю­щая фор­му­ла:

Дано: 

До­ка­зать: При любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии а

До­ка­за­тель­ство:

Вспом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

Об­ра­тим вни­ма­ние, что ос­но­ва­ние и у по­ка­за­тель­ной, и у ло­га­риф­ми­че­ской функ­ций здесь

С по­мо­щью преды­ду­ще­го со­от­но­ше­ния диф­фе­рен­ци­ру­ем, на­хо­дим про­из­вод­ную слож­ной функ­ции:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Про­ком­мен­ти­ру­ем фор­му­лу .

Чтобы найти про­из­вод­ную по­ка­за­тель­ной функ­ции, надо саму по­ка­за­тель­ную функ­цию умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм ее ос­но­ва­ния.

Итак, мы умеем на­хо­дить про­из­вод­ную по­ка­за­тель­ной функ­ции с любым до­пу­сти­мым ос­но­ва­ни­ем . Если мы это умеем де­лать, зна­чит, мы умеем ре­шать все стан­дарт­ные за­да­чи на про­из­вод­ную.

 2. Пример 1

Дано:

Найти: Про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке 

Ре­ше­ние.

У нас есть ме­то­ди­ка. Дей­ству­ем по ней. Най­дем про­из­вод­ную в любой точке. То есть про­диф­фе­рен­ци­ру­ем  по фор­му­ле :

Те­перь оста­лось под­ста­вить 

Ответ:

Ана­ло­гич­но ре­ша­ет­ся вто­рая за­да­ча:

 3. Пример 2

Дано:

Найти: Про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке

Ре­ше­ние. Про­диф­фе­рен­ци­ру­ем  по фор­му­ле :

Под­ста­вим 

Ответ:

 4. Интегрирование показательной функции

Далее нам сле­ду­ет на­учить­ся ин­те­гри­ро­вать по­ка­за­тель­ную функ­цию.

Рас­смот­рим фор­му­лу  про­из­воль­ная по­сто­ян­ная.

По­че­му? По опре­де­ле­нию.

Про­из­вод­ная пра­вой части долж­на быть равна . Про­ве­ря­ем: .

То есть фор­му­ла 1. спра­вед­ли­ва.

Те­перь вме­сто  под ин­те­гра­лом , при любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии

Про­ве­рим эту фор­му­лу. То есть возь­мем про­из­вод­ную пра­вой части и до­ка­жем, что она равна функ­ции под ин­те­гра­лом.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, мы умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать по­ка­за­тель­ную функ­цию. Зна­чит, мы умеем ре­шать стан­дарт­ные за­да­чи на пер­во­об­раз­ную этой функ­ции. Вот одна из стан­дарт­ных задач:

           

 5. Пример 3

Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми .

Ре­ше­ние.

Речи идет о такой пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции: рис. 1.

Рис. 1. Пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции

По фор­му­ле Нью­то­на-Лейб­ни­ца эта пло­щадь равна:

Ответ:

 6. Дифференцирование логарифмической функции

Мы рас­смот­ре­ли диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние по­ка­за­тель­ной функ­ции. Те­перь рас­смот­рим диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции. А имен­но до­ка­жем фор­му­лу:

Дано:

До­ка­зать:

При любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии  спра­вед­ли­ва фор­му­ла

До­ка­за­тель­ство:

Будем ис­поль­зо­вать фор­му­лу 

Вспом­ним, как можно и нужно пе­ре­хо­дить к но­во­му ос­но­ва­нию :

Так вот, в нашем слу­чае .

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Мы умеем на­хо­дить про­из­вод­ную ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии :

Сле­до­ва­тель­но, мы умеем ре­шать стан­дарт­ные за­да­чи с ис­поль­зо­ва­ни­ем этой фор­му­лы. Вот одна из этих задач:

 7. Пример 4

Дано: Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция 

Найти: 

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние на­хо­дим по стан­дарт­ной ме­то­ди­ке.

Пер­вое дей­ствие. На­хо­дим про­из­вод­ную в любой точке :

Вто­рое дей­ствие. На­хо­дим про­из­вод­ную в за­дан­ной точке :

Ответ:

До­ка­жем или про­ве­рим сле­ду­ю­щую важ­ную фор­му­лу:

Осо­бен­но­сти фор­му­лы:  в зна­ме­на­те­ле в пер­вой сте­пе­ни.

До­ка­за­тель­ство:

 8. Интегрирование функции

Рас­кры­ва­ем мо­дуль как по­ло­же­но, рас­смат­ри­ва­ем два слу­чая:

Под мо­ду­лем стоит по­ло­жи­тель­ное число

Про­из­вод­ная пра­вой части:

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся фор­му­ла во вто­ром слу­чае:

Под мо­ду­лем стоит от­ри­ца­тель­ное число

Про­из­вод­ная пра­вой части:

Фор­му­ла до­ка­за­на.

Рас­смот­рим одну из ти­по­вых задач на до­ка­зан­ную фор­му­лу.

 9. Пример 5

Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

.

Ре­ше­ние.

На ри­сун­ке по­ка­за­на ис­ко­мая пло­щадь:

Рис. 2. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

По фор­му­ле Нью­то­на-Лейб­ни­ца эта пло­щадь равна:

Ответ:

Итак, мы на­учи­лись диф­фе­рен­ци­ро­вать ло­га­риф­ми­че­скую и по­ка­за­тель­ную функ­ции. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/differentsirovanie-i-integrirovanie-pokazatelnoy-i-logarifmicheskoy-funktsiy

http://www.youtube.com/watch?v=8b9QzWmMBpM

http://www.youtube.com/watch?v=NlcM5gT22nw

http://www.youtube.com/watch?v=wPEQzJsinXw

http://pioner48.ru/image/cache/data-pioner48-school-shopedu-algebra-7-11-klass-komplekt-16-tablits-7-600x600.jpg

http://mypresentation.ru/documents/3b9d700b841ee9ca35e5a3b9f70eb6a6/img8.jpg

http://www.zaslonim.ru/article/postimg/33930690-svidetelstvo-o-prave-sobstvennosti-na-zemlyu-obrazec.jpg

http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/01/15/differentsirovanie_pokazatelnoy_i_logarif_funktsiy.ppt

http://test-training.ru/category/algebra-11-class

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

 

Файлы