11 класс. Алгебра. Интеграл. Дифференцирование и интегрирование функций.

Комментарии преподавателя

Диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние и ин­те­гри­ро­ва­ние сте­пен­ной функ­ции с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем

 1. Введение

Вспом­ним диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние сте­пен­ной функ­ции с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем.

 

При­мер 1 – найти про­из­вод­ную функ­ции:

При­мер 2 – найти про­из­вод­ную функ­ции в точке:

 2. Дифференцирование степенной функции с натуральным основанием, теория, примеры 

Вспом­ним диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние слож­ной сте­пен­ной функ­ции с на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем.

 

При­мер 3 – найти про­из­вод­ную функ­ции:

Ком­мен­та­рий: при ре­ше­нии при­ме­ра была при­ме­не­на фор­му­ла про­из­вод­ной ли­ней­ной функ­ции 

 

При­мер 4 – найти про­из­вод­ную функ­ции в точке:

Рас­смот­рим сте­пен­ную функ­цию вида , то есть сте­пен­ную функ­цию с от­ри­ца­тель­ным на­ту­раль­ным по­ка­за­те­лем. До­ка­жем, что ее про­из­вод­ная ана­ло­гич­на функ­ции с по­ло­жи­тель­ным по­ка­за­те­лем сте­пе­ни.

Дано: 

Найти: 

На­пом­ним, что про­из­вод­ная част­но­го опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле:

В дан­ном слу­чае:

По­лу­чи­ли:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Таким об­ра­зом, можно сде­лать вывод:

 3. Производная степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры  

Те­перь рас­смот­рим сте­пен­ную функ­цию с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем.

Про­из­вод­ная дан­ной функ­ции ана­ло­гич­на уже рас­смот­рен­ным про­из­вод­ным для на­ту­раль­но­го и це­ло­го по­ка­за­те­лей. Сле­ду­ю­щую тео­ре­му при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства.

Тео­ре­ма:

Если  и r – любое ра­ци­о­наль­ное число, то про­из­вод­ная функ­ции вида  вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

 

При­мер 5 –  найти про­из­вод­ную функ­ции:

При­мер 6 – найти про­из­вод­ную функ­ции в точке:

 

 4. Некоторые факты о первообразной 

Пе­рей­дем к ин­те­гри­ро­ва­нию сте­пен­ной функ­ции с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем, для этого сде­ла­ем неко­то­рые на­по­ми­на­ния. 

1. Если  , то F(x) – пер­во­об­раз­ная для f(x);

2. Функ­ция f(x) имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство пер­во­об­раз­ных. Все их се­мей­ство можно вы­ра­зить сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 

3. Мно­же­ство всех пер­во­об­раз­ных неко­то­рой функ­ции f(x) на­зы­ва­ет­ся ее неопре­де­лен­ным ин­те­гра­лом: 

Опре­де­лен­ный ин­те­грал можно найти по фор­му­ле:

 5. Интегрирование степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры

Пусть за­да­на сте­пен­ная функ­ция с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем.

До­ка­зать:

Дру­ги­ми сло­ва­ми нужно до­ка­зать, что в пра­вой части ра­вен­ства стоит мно­же­ство всех пер­во­об­раз­ных подын­те­граль­ной функ­ции.

Для этого возь­мем про­из­вод­ную пра­вой части и по­ка­жем, что она равна подын­те­граль­но­му вы­ра­же­нию.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Услож­ним сте­пен­ную функ­цию.

До­ка­зать:

До­ка­жем ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю, возь­мем про­из­вод­ную от пра­вой части:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер 7 – найти неопре­де­лен­ный ин­те­грал:

Вы­пол­ним про­вер­ку. Для этого возь­мем про­из­вод­ную от по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния:

По­лу­че­на ис­ход­ная функ­ция, а зна­чит, неопре­де­лен­ный ин­те­грал най­ден верно.

При­мер 8 – вы­чис­лить опре­де­лен­ный ин­те­грал:

 

Итак, мы рас­смот­ре­ли диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние и ин­те­гри­ро­ва­ние сте­пен­ных функ­ций с ра­ци­о­наль­ным по­ка­за­те­лем. Мы вы­ве­ли неко­то­рые важ­ные фор­му­лы, а также ре­ши­ли несколь­ко про­стых при­ме­ров для за­креп­ле­ния ма­те­ри­а­ла.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/differentsirovanie-i-integrirovanie-stepennoy-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem

http://www.youtube.com/watch?v=CYrXpSNT_U0

http://www.youtube.com/watch?v=2r_g7Lowq-o

http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/623-samostoyatelnaya-rabota-s-10-differentsirovanie-stepennoj-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem-11-klass.html

http://pioner48.ru/image/cache/data-pioner48-school-shopedu-algebra-7-11-klass-komplekt-16-tablits-7-600x600.jpg

http://www.zaslonim.ru/article/postimg/33930690-svidetelstvo-o-prave-sobstvennosti-na-zemlyu-obrazec.jpg

http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm

http://test-training.ru/category/algebra-11-class

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html

Файлы