8 класс. Алгебра. Приближенные значения действительных чисел. Стандартный вид числа.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим тему «Стандартный вид положительного числа»

 

 Введение

Все по­ло­жи­тель­ные числа, все де­ся­тич­ные дроби за­пи­сы­ва­ют­ся в де­ся­тич­ной си­сте­ме ис­чис­ле­ния. Она имеет всего 10 цифр:

{0, 1, 2, … 9}

Цифр мало – 10 штук, а чисел – бес­чис­лен­ное мно­же­ство. Это ве­ли­ко­ле­пие де­ся­тич­ной по­зи­ци­он­ной си­сте­мы ис­чис­ле­ния. В ней важна не толь­ко сама цифра, но и то место (раз­ряд), ко­то­рая она за­ни­ма­ет.

При­мер.

Папа дал 300 руб­лей, мама – 20 руб­лей, а ба­буш­ка – 7 руб­лей. В ре­зуль­та­те,
327 = 3∙100 + 2∙10 +7.

Дробь 0,327 за­пи­сы­ва­ет­ся по убы­ва­ю­щим сте­пе­ням ос­но­ва­ния.

0,327 = 3∙10^-1 + 2∙10^-2 + 7∙10^-3

Итак, мы вспом­ни­ли де­ся­тич­ную си­сте­му ис­чис­ле­ния, в ней за­пи­сы­ва­ют­ся опре­де­лен­ным об­ра­зом все по­ло­жи­тель­ные числа, все дроби. Так для чего же еще нужен стан­дарт­ный вид числа?

 Стандартный вид положительного числа

Для от­ве­та на этот во­прос рас­смот­рим неко­то­рые боль­шие и до­ста­точ­но малые числа. 
На­при­мер, рас­сто­я­ние до Солн­ца – 150 000 000 км.
Но его можно за­пи­сать иначе – 1,5∙108 км. Эта за­пись верна и смот­рит­ся ком­пакт­нее.

Вто­рым при­ме­ром будет диа­метр мо­ле­ку­лы воды (d = 0,0000000003 м)

За­пи­шем его более ком­пакт­но: d = 3∙10^-10

Это при­ме­ры за­пи­си числа в стан­дарт­ном виде. Здесь ис­поль­зо­ва­лись сте­пе­ни де­сят­ки. Пре­жде чем дать опре­де­ле­ние стан­дарт­но­го вида числа, необ­хо­ди­мо вспом­нить сте­пе­ни и дей­ствия со сте­пе­ня­ми.

 Определения

Опре­де­ле­ние

Стан­дарт­ным видом по­ло­жи­тель­но­го числа «а» на­зы­ва­ют его пред­став­ле­ние в виде

а0∙10m,

где а0є [1; 10), m – целое число.

По­ка­за­тель m на­зы­ва­ют по­ряд­ком дей­стви­тель­но­го числа «а», а0 – его ман­тис­сой.

Опре­де­ле­ние

Чтобы по­лу­чить стан­дарт­ный вид числа, за­пя­тую нужно пе­ре­дви­нуть так, чтобы перед ней вста­ла одна, но зна­ча­щая цифра. Для этого нужно умно­жить или раз­де­лить число на под­хо­дя­щую сте­пень де­сят­ки.

 Примеры («Запишите в стандартном виде»)

Пред­ста­вить числа а1, а2, а3, а4 в стан­дарт­ном виде

а1 = 327 = 327,0 = 327 ∙  ∙102 = 3,27∙102                                   m = 2.

а2 = 0,3 = 0,3 ∙ 10 ∙  = 3∙10-1                                                                           m = -1

а3 = 0,37 = 0,37 ∙ 10 ∙  = 3,7∙10-1                                                                  m = -1

а4 = 1827 = 1827,0 = 1827 ∙  ∙ 1000 = 1,827∙103                             m = 3

Еще раз по­смот­рим на струк­ту­ру числа, за­пи­сан­но­го в стан­дарт­ном виде, на при­ме­ре вы­ше­рас­смот­рен­ных чисел:

а0∙ 10m,

где а0є [1; 10), m є Z

3,27 ∙ 102, где 3,27 – а0

1,827 ∙ 103, где 1,827 – а0

3 ∙ 10-1, где 3 – а0

Стан­дарт­ный вид числа удо­бен для за­пи­си боль­ших и малых чисел.

Рас­сто­я­ние до Солн­ца со­став­ля­ет 150 000 000 км. За­пи­сать это число в стан­дарт­ном виде.

а = 150 000 000км

а = 150000000,0 = 1,5∙108                                                              m = 8

За­пи­сать число b = 0,000038 в стан­дарт­ном виде.

b = 0,000038 = 3,8∙10-5                                                                   m = -5

Ско­рость света равна V = 300 000 км/с. За­пи­сать это число в стан­дарт­ном виде.

V = 300000,0 = 3∙105                                                                    

Ответ: V = 3∙105m = 5

 1 све­то­вой год равен 30 860 000 000 000км. За­пи­сать это число в стан­дарт­ном виде.

1с.г. = 30 860 000 000 000 = 3,086∙1013км                                   m = 13

Вы­чис­лить и пред­ста­вить в стан­дарт­ном виде.

1) (0,2∙105) ∙ (1,4∙10-2) = 0,28∙103 = 2,8∙10-1∙103 = 2,8∙102                                m = 2

2) (0,004)2 = (4,0∙10-3)2 = 16∙10-6 = 1,6∙10∙10-6 = 1,6∙10-5      m = -5

 Пример («Сравните…»)

Срав­ни­те числа а и b

а = ; b = 0,001

а =  = 1,2∙10-7-(-4) = 1,2∙10-3                                                   m = -3

b = 0,001 = 1∙10-3                                                                            m = -3

Так как по­ря­док двух чисел оди­на­ко­вый, но 1,2 > 1, то а > b.

Ответ: а > b

 Вывод

Итак, мы узна­ли, что такое стан­дарт­ный вид по­ло­жи­тель­но­го числа. Вы­яс­ни­ли, каким об­ра­зом по­лу­чить стан­дарт­ный вид по­ло­жи­тель­но­го числа. Убе­ди­лись на кон­крет­ных при­ме­рах, что стан­дарт­ный вид по­ло­жи­тель­но­го числа удо­бен для боль­ших и малых чисел.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/standartnyy-vid-polozhitelnogo-chisla?konspekt&chapter_id=17

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=QX-A10Vo62U

Источник презентации: http://festival.1september.ru/articles/593723/

Файлы