8 класс. Алгебра. Приближенные значения действительных чисел. Стандартный вид числа.

8 класс. Алгебра. Приближенные значения действительных чисел. Стандартный вид числа.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим тему «Приближенные значения действительных чисел». В нем вспомним основные сведения о действительных числах и выясним, какие из них, зачем и как надо приближать

 

 

 Введение

Раз­ли­ча­ют:

N {1; 2; 3; …} – на­ту­раль­ные числа

Z {0; ±1; ±2; …} – целые числа

Q {±; ±4; …; n ∈ N; m ∈ Z} – ра­ци­о­наль­ные числа

N ⊂ Z ⊂ Q

Вы­яс­ним, что такое ра­ци­о­наль­ное число. На­при­мер,

  …
 = 0,333… = 0,(3)

 = 1  = 1,2(0)
Ра­ци­о­наль­ное число может быть пред­став­ле­но в де­ся­тич­ном виде. Это бес­ко­неч­ная де­ся­тич­ная дробь, но пе­ри­о­ди­че­ская, и де­ся­тич­ное пред­став­ле­ние дан­но­го числа – един­ствен­ное.

Надо уметь пе­ре­хо­дить от одной формы пред­став­ле­ния числа к дру­гой.

 Иррациональные числа

Су­ще­ству­ют также нера­ци­о­наль­ные, или ир­ра­ци­о­наль­ные, числа, ко­то­рые не пред­ста­ви­мы в виде обык­но­вен­ной дроби. Ир­ра­ци­о­наль­ное число – это бес­ко­неч­ная, непе­ри­о­ди­че­ская де­ся­тич­ная дробь. Для обо­зна­че­ния дей­стви­тель­но­го числа су­ще­ству­ют раз­лич­ные сим­во­лы, буквы. На­при­мер, 
 ≠ ; π; x

Для ра­бо­ты с та­ки­ми ир­ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми их при­бли­жа­ют близ­ки­ми ра­ци­о­наль­ны­ми чис­ла­ми.

 Пример 1

 = 1,414…

Вы­пи­шем при­бли­жен­ные зна­че­ния дан­но­го числа:

 ≈ 1,4              1,42 = 1,96

 ≈ 1,41            1,412 = 1,9881 ≈ 2

 ≈ 1,42            1,422 = 2,0164 ≈ 2

Итак,  имеет бес­ко­неч­ное число зна­ков, вы­пи­сать ко­то­рые невоз­мож­но. Для ра­бо­ты с  его при­бли­жа­ют ука­зан­ные выше при­бли­же­ния, и при воз­ве­де­нии  в квад­рат, мы по­лу­ча­ем 2 с недо­стат­ком или из­быт­ком.

Про­ве­рим (рис. 1):

Числовая ось

Рис. 1. Чис­ло­вая ось

Мы видим, что точка М (1,414) ближе к точке А (), чем точки В (1,4) и С (1,41).

 Погрешность приближения

Воз­мож­но при­бли­же­ние по недо­стат­ку и из­быт­ку.

На­при­мер,

1,41 ≈ , но 1,41 <  (по недо­стат­ку)

1,42 ≈ , но 1,42 >  (по из­быт­ку).

Опре­де­ле­ние:

По­греш­но­стью при­бли­же­ния (аб­со­лют­ной по­греш­но­стью) на­зы­ва­ет­ся мо­дуль раз­но­сти между точ­ным зна­че­ни­ем ве­ли­чи­ны х и её при­бли­жен­ным зна­че­ни­ем ве­ли­чи­ны а ().

При­мер.  ≈ 1,4;  =  – аб­со­лют­ная по­греш­ность (длина AB)

≈ 1,42;  аб­со­лют­ная по­греш­ность (длина DA) (рис. 2)

Погрешности на числовой оси

Рис. 2. По­греш­но­сти на чис­ло­вой оси

 Правило округления

Когда нужно брать при­бли­же­ние по недо­стат­ку, а когда – по из­быт­ку? Ответ на­хо­дит­ся в пра­ви­ле округ­ле­ния.

Пра­ви­ло округ­ле­ния

Если пер­вая от­бра­сы­ва­е­мая цифра мень­ше 5, то нужно брать при­бли­же­ние по недо­стат­ку; если пер­вая от­бра­сы­ва­е­мая цифра ≥5, то нужно брать при­бли­же­ние по из­быт­ку.

При­мер.

1. ≈ 1,41

Это при­бли­же­ние по пра­ви­лу округ­ле­ния, и оно более точ­ное.

2.  ≈ 1,42

Это при­бли­же­ние по пра­ви­лу округ­ле­ния, и оно менее точ­ное.
Дей­ство­вать надо от­тал­ки­ва­ясь от пра­ви­ла округ­ле­ния.

 Откуда взялось  и π

 – это ги­по­те­ну­за рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 1 и 1.

Число π еще в III в. до н.э. Ар­хи­мед опыт­ным путем уста­но­вил и до­ка­зал, что в окруж­но­сти от­но­ше­ние длины окруж­но­сти к ее диа­мет­ру есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная. Это от­но­ше­ние, , и обо­зна­ча­ет­ся чис­лом π. От­сю­да сле­ду­ет, что  (длина окруж­но­сти) = 2πR.

Уста­но­ви­ли, что π – число ир­ра­ци­о­наль­ное. Оно равно:

π ≈3,141592…

Наша за­да­ча – взять при­бли­жен­ное зна­че­ние дан­но­го числа. В этом нам по­мо­жет еще одно важ­ное опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Если  – при­бли­жен­ное зна­че­ние числа  и  ≤ h, то го­во­рят, что по­греш­ность при­бли­же­ния не пре­вос­хо­дит h, или что число  равно с точ­но­стью до h.

При­мер. π ≈3,141592

Ис­поль­зуя пра­ви­ло округ­ле­ния

1. π ≈3,142 – с точ­но­стью до 0,001

2. π ≈3,14 – с точ­но­стью до 0,01

3. Ар­хи­мед уста­но­вил, что 

До­ка­за­но:  – при­бли­же­ние числа π с точ­но­стью до 0,002.

То есть,  ≤ 0,002

4. π ≈3,14 с точ­но­стью до 0,01

Это зна­чит, что

 Вывод

Мы рас­смот­ре­ли при­бли­же­ние дей­стви­тель­ных чисел, вы­яс­ни­ли, какие числа в первую оче­редь надо при­бли­жать. Это ир­ра­ци­о­наль­ные числа, по­то­му что их за­пись – это бес­ко­неч­ное число де­ся­тич­ных зна­ков. Ир­ра­ци­о­наль­ное число – это бес­ко­неч­ная, непе­ри­о­ди­че­ская де­ся­тич­ная дробь. Мы по­дроб­но рас­смот­ре­ли  и π. При­бли­же­ние осталь­ных ир­ра­ци­о­наль­ных чисел осу­ществ­ля­ет­ся таким же об­ра­зом.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/priblizhennye-znacheniya-deystvitelnyh-chisel?konspekt&chapter_id=17

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=NFkTwcgMhBI

Файлы