11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Комментарии преподавателя

 1. Повторение основных правил вычисления площадей плоских фигур

По­вто­ре­ние

По­вто­ре­ние нач­нем с ос­нов­но­го опре­де­ле­ния. Что такое пер­во­об­раз­ная?

1. Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют пер­во­об­раз­ной для функ­ции  на за­дан­ном про­ме­жут­ке , если для всех  из  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство .

При­мер. Мы умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать функ­цию .

Зна­чит, .

2. Ос­нов­ная за­да­ча ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния:

Найти , зная  – ско­рость ее из­ме­не­ния.

3. Если  – одно из ре­ше­ний за­да­чи, то  – мно­же­ство всех ее ре­ше­ний.

 . Все это мно­же­ство на­зы­ва­ет­ся неопре­де­лен­ным ин­те­гра­лом.

Итак, на­хож­де­ние пер­во­об­раз­ной – это вос­ста­нов­ле­ние функ­ции по ее ско­ро­сти.

Если фи­зи­че­ский при­бор дает ско­рость, а мы на­хо­дим­ся на борту или в ав­то­бу­се, или в ав­то­мо­би­ле и умеем ин­те­гри­ро­вать, то мы най­дем путь. Если при­бор дает уско­ре­ние, а мы умеем ин­те­гри­ро­вать, то мы най­дем ско­рость. А если мы ско­рость про­ин­те­гри­ру­ем, мы по­лу­чим рас­сто­я­ние. Если про­ин­те­гри­ро­вать по 3-м осям, то мы можем знать ме­сто­рас­по­ло­же­ние ле­та­тель­но­го ап­па­ра­та в каж­дый мо­мент вре­ме­ни.

4. Фор­му­ла Нью­то­на-Лейб­ни­ца. На­хож­де­ние пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции  и тремя пря­мы­ми. Рис. 1.

Рис. 1. На­хож­де­ние пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции  и тремя пря­мы­ми

Вспом­ним, как мы ис­ка­ли пло­щадь:

Раз­би­ли от­ре­зок на  оди­на­ко­вых от­рез­ков, за­ме­ни­ли ис­ко­мую пло­щадь пло­ща­дью по­сту­пен­ча­той ло­ма­ной, легко ее со­счи­та­ли и по­лу­чи­ли при­бли­жен­ное ре­ше­ние нашей за­да­чи. Далее устре­ми­ли  в пре­де­ле и

этот пре­дел на­зва­ли опре­де­лен­ным ин­те­гра­лом и обо­зна­чи­ли его .

Таким об­ра­зом, мы опре­де­ли­ли пло­щадь, но еще на­хо­дить ее чис­лен­но не умели.

Как же мы чис­лен­но смог­ли найти пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции?

Рис. 2. Функ­ция S(x)

Ввели функ­цию . Рис. 2. Каж­до­му пло­щадь под со­от­вет­ству­ю­щей ча­стью кри­вой .

Мы до­ка­за­ли, что про­из­вод­ная этой же функ­ции . Зна­чит  – пер­во­об­раз­ная. И  – при­ра­ще­ние пер­во­об­раз­ных на от­рез­ке  То есть, можно взять пер­во­об­раз­ную в точке  и от­нять пер­во­об­раз­ную в точке . И таким об­ра­зом по­лу­чить фор­му­лу .

Итак, на­хож­де­ние пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции – важ­ное при­ме­не­ние пер­во­об­раз­ной.

5. Вы­пи­шем фор­му­лу для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции.

Найти пло­щадь  под кри­вой 

. Рис. 3.

Пло­щадь ищет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

Рис. 3. Пло­щадь  под кри­вой 

По­вто­рим: Нужно найти одну из пер­во­об­раз­ных и взять пре­де­лы от a до b – любая функ­ция, важно, чтобы она была непре­рыв­ной 

6. Далее с по­мо­щью пер­во­об­раз­ных мы на­учи­лись на­хо­дить пло­щадь между двумя кри­вы­ми.

По­ста­нов­ка за­да­чи: Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми.

 . Рис. 4.

 

Рис. 4. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Пло­щадь такой фи­гу­ры вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

,

где  – одна из пер­во­об­раз­ных раз­но­сти .

Таким об­ра­зом, мы по­вто­ри­ли опор­ные факты.

Пе­рей­дем к кон­крет­ным при­ме­рам и за­да­чам на пло­щадь. Вот пер­вый из них:

 2. Пример 1 - Задача вычислить площадь

При­мер 1. Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

Рис. 5.

Рис. 5. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми .

Ре­ше­ние.

В силу сим­мет­рии до­ста­точ­но вы­чис­лить по­ло­ви­ну пло­ща­ди и удво­ить ее. Так и по­сту­пим.

Ис­ко­мая пло­щадь:

Ответ:

 3. Пример 2 - Задача вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

При­мер 2. Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

.

Рис. 6. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

Речь идет о за­штри­хо­ван­ной пло­ща­ди. По­сту­па­ем, как рань­ше. Сна­ча­ла надо найти пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния, то есть точки пе­ре­се­че­ния. Они легко на­хо­дят­ся: это точки  Зна­чит, пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния най­де­ны. Пло­щадь:

Ответ: 

Сле­ду­ю­щая за­да­ча на пло­щадь ана­ло­гич­ная, но решим ее по-ино­му.

 4. Пример 3

При­мер 3.

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

.

Ре­ше­ние.

Сна­ча­ла по­стро­им гра­фи­ки: рис. 7.

Гра­фик – па­ра­бо­ла, ветви на­прав­ле­ны вниз, корни . Вер­ши­на – .

Гра­фик функ­ции . Ис­ко­мая пло­щадь:

Рис. 7. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Решим эту за­да­чу сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Сна­ча­ла мы най­дем пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка 

Най­дем пло­щадь кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка 

И вы­чтем пло­ща­ди. По­лу­чим ис­ко­мую пло­щадь.

Ответ:

По­след­нее дей­ствие

.

В сле­ду­ю­щей за­да­че имеем и кри­вую, и ка­са­тель­ную к ней в точке.

 5. Пример 4

При­мер 4.

Вы­чис­ли­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми:

Па­ра­бо­лой , ка­са­тель­ной к ней в точке с абс­цис­сой , осью ;

Ре­ше­ние.

Итак, три линии об­ра­зу­ют ис­ко­мую пло­щадь.

Пер­вая линия, это из­вест­но.

Вто­рая – ка­са­тель­ная в точке с абс­цис­сой . Чтобы не от­вле­кать­ся от дан­ной темы, мы вос­поль­зу­ем­ся дан­ны­ми преды­ду­щих уро­ков, какая ка­са­тель­ная была нами най­де­на .

Сле­ду­ю­щая пря­мая – ось . По­лу­ча­ем такую фи­гу­ру: рис. 8.

Рис. 8. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми: па­ра­бо­лой , ка­са­тель­ной к ней в точке с абс­цис­сой , осью 

На­хо­дим ее пло­щадь:

Пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния.

Ответ: .

По­ста­нов­ка сле­ду­ю­щей за­да­чи нам уже из­вест­на.

 6. Пример 5

При­мер 5.

Найти массу  неод­но­род­но­го стерж­ня , если плот­ностьsinx + 1.

Ре­ше­ние.

Стер­жень по­ме­щен в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, как по­ка­за­но на ри­сун­ке:

Рис. 9. Стер­жень в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

В каж­дой точке плот­ность из­вест­на и ме­ня­ет­ся по за­ко­нуsinx + 1Чтобы найти массу, знаем, что надо найти пло­щадь под этой плот­но­стью. Пло­щадь мы ис­кать умеем:

 

Ответ: 

Сле­ду­ю­щая за­да­ча о дви­же­нии точки по пря­мой.

 7. Пример 6

При­мер 6.

Най­ди­те пе­ре­ме­ще­ние  точки, если ско­рость ме­ня­ет­ся по за­ко­ну Рис. 10.

Ре­ше­ние.

Оси ко­ор­ди­нат t,v:

Рис. 10. Пе­ре­ме­ще­ние  точки

Нам нужно найти пе­ре­ме­ще­ние, зна­чит, пло­щадь под ско­ро­стью. Здесь за­да­ча на­столь­ко про­стая, что можно обой­тись без ин­те­гра­ла.

Сде­ла­ем двумя спо­со­ба­ми:

С по­мо­щью ин­те­гра­ла:

Эту пло­щадь можно найти как пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка:

Ответ:

Итак, мы рас­смот­ре­ли за­да­чи на вы­чис­ле­ние пло­ща­дей плос­ких фигур

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/zadachi-na-vychislenie-ploschadey-ploskih-figur

http://www.youtube.com/watch?v=sJEAEjDIPh8

http://www.youtube.com/watch?v=BnMnE8WXOts

http://www.youtube.com/watch?v=2t0dFvYrTE0

http://math.semestr.ru/math/applications-definite-integral.php

http://festival.1september.ru/articles/635051/presentation/pril.ppt

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

 http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

 

Файлы