11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Определенному интегралу (если он существует) ...

Комментарии преподавателя

 1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла

Рас­смот­рим по­ста­нов­ку за­да­чи о пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции.

Вы­чис­лить пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми (рис. 1).

.

Рис. 1. Пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции

Как мы пы­та­лись ее ре­шить:

Пер­вый спо­соб.

Раз­би­ли от­ре­зок на  оди­на­ко­вых от­рез­ков, за­ме­ни­ли ис­ко­мую пло­щадь пло­ща­дью по­сту­пен­частой линии, легко ее со­счи­та­ли и по­лу­чи­ли при­бли­жен­ное ре­ше­ние нашей за­да­чи. Далее устре­ми­ли  в пре­де­ле и

по­лу­чи­ли ис­ко­мую пло­щадь S. Ввели обо­зна­че­ние .

Это опре­де­лен­ный ин­те­грал. Вот таким об­ра­зом мы пы­та­лись ре­шить за­да­чу. Мы знаем те­перь, как при­бли­жен­но ее ре­шить, знаем обо­зна­че­ния для точ­но­го ре­ше­ния, но точ­но­го ре­ше­ния еще не знаем.

Затем мы по­лу­чи­ли точ­ное ре­ше­ние за­да­чи сле­ду­ю­щим об­ра­зом: рис. 2:

Рис. 2. Функ­ция S (x)

Ввели функ­цию . Каж­до­му пло­щадь под со­от­вет­ству­ю­щей ча­стью кри­вой . Так, вве­ден­ная функ­ция удо­вле­тво­ря­ет един­ствен­но­му за­ко­ну, а имен­но:

Каж­до­му  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние .

Мы до­ка­за­ли, что про­из­вод­ная этой же функ­ции  и до­ка­за­ли, что точ­ная пло­щадь вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Надо найти любую пер­во­об­раз­ную от функ­циии взять при­ра­ще­ние этих пер­во­об­раз­ных. То есть взять пер­во­об­раз­ную в точке  и от­нять пер­во­об­раз­ную в точке . И в ре­зуль­та­те мы по­лу­чи­ли фор­му­лу, ко­то­рой мы будем поль­зо­вать­ся для вы­чис­ле­ния пло­ща­дей.

 .

 2. Методика нахождения площади на примере

Ме­то­ди­ку на­хож­де­ния пло­ща­ди рас­смот­рим сна­ча­ла на от­но­си­тель­но про­стом при­ме­ре.

При­мер 1.

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

Вот ис­ко­мая пло­щадь:

Рис. 3. Пло­щадь

Вот фор­му­ла:

Это общая фор­му­ла. Кон­крет­но к на­ше­му слу­чаю она при­ме­ни­ма так:

Пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния .

 

=.

Вы­чис­ли­ли пло­щадь кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ры.

Ответ: 

В сле­ду­ю­щей за­да­че пло­щадь ис­ко­мой фи­гу­ры об­ра­зо­вы­ва­ет­ся с по­мо­щью  А имен­но:

 3. Пример 2

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

По­смот­рим, как вы­гля­дит фи­гу­ра (рис. 4).

Рис. 4. Фи­гу­ра, огра­ни­чен­ная ли­ни­я­ми 

Фор­му­ла та же самая: 

В нашем слу­чае . Итак, надо найти опре­де­лен­ный ин­те­грал

=-(-1)+1=1+1=2.

Ис­ко­мая пло­щадь най­де­на, и ответ по­лу­чен.

Ответ: 2

 4. Пример 3

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

Ре­ше­ние.

Рис. 5. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

Фор­му­ла для пло­ща­ди та же самая:

 

В нашем слу­чае .

.

Ответ

В сле­ду­ю­щем при­ме­ре ищет­ся пло­щадь под па­ра­бо­лой.

 5. Пример 4

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

Схе­ма­ти­че­ски изоб­ра­зим па­ра­бо­лу  Корни 

Рис. 6. Па­ра­бо­ла 

При­ме­ним из­вест­ную фор­му­лу 

И при­ме­ним ее для дан­ной функ­ции  и пре­де­лов ин­те­гри­ро­ва­ния

 

.

Ис­ко­мая пло­щадь най­де­на. 

Ответ:

В преды­ду­щих за­да­чах пло­щадь об­ра­зо­вы­ва­лась с по­мо­щью раз­ных кри­вых, но эта пло­щадь на­хо­ди­лась над осью . В сле­ду­ю­щей за­да­че на­о­бо­рот.

 6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми.

Ре­ше­ние.

По­смот­рим, что это за фи­гу­ра. Гра­фик в пре­де­лах от Π до 2Π рас­по­ло­жен под осью Ox (рис. 7).

 

Рис. 7. Гра­фик в пре­де­лах от Π до 2Π

Ясно, что если возь­мем опре­де­лен­ный ин­те­грал, то мы по­лу­чим от­ри­ца­тель­ное число.

Вы­чис­ля­ем.

1. Сна­ча­ла вы­чис­ля­ем опре­де­лен­ный ин­те­грал от π до 2π от подын­те­граль­ной функ­ции 

Надо найти пер­во­об­раз­ную.

По таб­ли­це пер­во­об­раз­ных: .

=-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти пло­щадь, надо взять мо­дуль =2.

Ответ: 2.

 7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы

Сле­ду­ю­щее услож­не­ние – ис­ко­мая пло­щадь рас­по­ло­же­на между двумя кри­вы­ми.

А имен­но:

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми (рис. 8)

 .

 

Рис. 8. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

Итак, пло­щадь об­ра­зу­ют 2 кри­вые, одна из них может на­хо­дить­ся под осью .

Каким об­ра­зом мы будем ре­шать эту за­да­чу?

Во-пер­вых, мы можем сдви­нуть фи­гу­ру на такое по­ло­жи­тель­ное , что пло­щадь на­хо­дит­ся над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фи­гу­ры

Затем мы возь­мем со­от­вет­ству­ю­щий опре­де­лен­ный ин­те­грал и най­дем пло­щадь. Ис­ко­мая пло­щадь равна раз­но­сти двух пло­ща­дей.

Пло­щадь под верх­ней кри­вой  минус пло­щадь под ниж­ней кри­вой .

Каж­дую из пло­ща­дей мы умеем на­хо­дить.

Таким об­ра­зом, в общем виде была по­став­ле­на за­да­ча, в общем виде по­лу­чен ответ.

Ответ:

 

Об­су­дим и по­ста­нов­ку за­да­чи, и по­лу­чен­ный важ­ный ре­зуль­тат.

Нам надо было найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

 .

Мы ис­поль­зо­ва­ли из­вест­ный прием: эту пло­щадь под­ня­ли на неко­то­рое , и это  Так вот, эту пло­щадь те­перь можно счи­тать без вве­де­ния . Пра­ви­ло сле­ду­ю­щее:

Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной пря­мы­ми ли­ни­я­ми  непре­рыв­ных на от­рез­ке  и таких, что для всех  из от­рез­ка  вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле, ко­то­рую мы вы­ве­ли:

Рас­смот­рим пер­вый кон­крет­ный при­мер на на­хож­де­ние пло­ща­ди между двумя ли­ни­я­ми.

 8. Пример 6

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ную ли­ни­я­ми

 .

Ре­ше­ние. Для на­ча­ла по­стро­им гра­фи­ки этих линий и пой­мем, где та пло­щадь, ко­то­рую нам надо ис­кать.

Гра­фик квад­ра­тич­ной функ­ции – па­ра­бо­ла. Корни – 0, 4, ветви вниз. Гра­фик 

 – бис­сек­три­са пер­во­го ко­ор­ди­нат­но­го угла. Вот пло­щадь, ко­то­рую надо найти:

Рис. 10. Ис­ко­мая пло­щадь

Но для этого сна­ча­ла надо найти точки пе­ре­се­че­ния и ре­шить стан­дарт­ную за­да­чу.

1. На­хо­дим точки пе­ре­се­че­ния. Для этого ре­ша­ем си­сте­му: .

От­сю­да по­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но :

Мы нашли , то есть, пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния. Это пер­вое важ­ное дей­ствие.

Те­перь стан­дарт­ное дей­ствие:

2. =  =()

 

Ис­ко­мая пло­щадь равна 4,5

Ответ: 4,5

 9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью

Во вто­ром при­ме­ре часть пло­ща­ди на­хо­дит­ся под осью , но на ме­то­ди­ку это не вли­я­ет.

При­мер 6.

Итак, тре­бу­ет­ся найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

Ре­ше­ние.

Сна­ча­ла по­стро­им гра­фи­ки, по­смот­рим, какую пло­щадь нам нужно найти. Рис. 11.

Пер­вая функ­ция – па­ра­бо­ла, ветви вниз. Гра­фик вто­рой функ­ции – пря­мая линия.

Есть две точки пе­ре­се­че­ния, их при­дет­ся найти, а имен­но взять пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния, и тогда будем ре­шать за­да­чу по зна­ко­мо­му нам плану.

Рис. 11. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Пер­вое дей­ствие – найти пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния и вто­рое – найти пло­щадь.

Пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния най­дем из си­сте­мы.

 

То есть, пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния най­де­ны.

= ()

Ответ: 

Итак, мы по­ка­за­ли, каким об­ра­зом можно вы­чис­лять пло­ща­ди плос­ких фигур с по­мо­щью опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/vychislenie-ploschadey-ploskih-figur-s-pomoschyu-opredelyonnogo-integrala

http://www.youtube.com/watch?v=Q6Tf9aw--1Y

http://www.youtube.com/watch?v=sJEAEjDIPh8

http://www.youtube.com/watch?v=VXeefHm8vYg

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://test-training.ru/category/algebra-11-class

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html

http://festival.1september.ru/articles/635051/presentation/pril.ppt

http://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/pervoobraznaia-i-integral-9151/vychislenie-ploshchadei-s-pomoshchiu-integralov-9154/re-f35df299-e36e-46b1-b8f3-85c90f6f44ad

 

Файлы