11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Комментарии преподавателя

 1. Напоминание о 3 задачах, рассмотренных на предыдущем уроке

На­пом­ним три за­да­чи, рас­смот­рен­ные на про­шлом уроке, ко­то­рые сво­дят­ся к на­хож­де­нию одной и той же пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции.

            

Рис. 1. На­хож­де­ние пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции         

О пло­ща­ди  под кри­вой 

Дано: .

Найти: .

О массе стерж­ня 

Дано: 

Найти: 

О пе­ре­ме­ще­нии точки по пря­мой

Дано: 

Найти: .

 2. Метод решения

Таким об­ра­зом, если мы су­ме­ем найти пло­щадь под кри­вой, пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, мы решим эти три, а также мно­гие дру­гие за­да­чи.

            

Рис. 2. Метод ре­ше­ния

На­пом­ним метод ре­ше­ния. Он за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем:

Раз­бить от­ре­зок  на  рав­ных ча­стей:

Со­счи­тать , то есть пло­щадь под­сту­пен­ча­той ло­ма­ной.

Найти:

Пре­жде чем найти ука­зан­ный пре­дел, при­мем важ­ное опре­де­ле­ние и пе­ре­обо­зна­че­ние.

Рас­смот­рим ин­те­граль­ную сумму:

Пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции за­пи­сы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 3. Определение определенного интеграла

Опре­де­ле­ние: Опре­де­лен­ный ин­те­грал от функ­ции  по от­рез­ку  – это пре­дел ин­те­граль­ных сумм  при .

Об­су­дим каж­дый эле­мент вве­ден­но­го опре­де­ле­ния:

a, b – пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния.

 пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции подын­те­граль­ной функ­ции  в пре­де­лах от  до .

 4. Решение задач через определенный интеграл, физический и геометрический смысл определенного интеграла

Вы­пи­шем ре­ше­ние трех задач через опре­де­лен­ный ин­те­грал.

 (гео­мет­ри­че­ский смысл опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла).

Масса неод­но­род­но­го стерж­ня.

Пе­ре­ме­ще­ние точки вдоль пря­мой, если из­вест­на ско­рость,  (гео­мет­ри­че­ский и фи­зи­че­ский смысл опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла).

Для того чтобы вы­чис­лить опре­де­лен­ный ин­те­грал, а с ней и пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, для на­ча­ла рас­смот­рим тео­ре­му.

 5. Теорема о вычислении определенного интеграла

Тео­ре­ма: Если  – непре­рыв­ная и неот­ри­ца­тель­ная на от­рез­ке функ­ция, а  – ее пер­во­об­раз­ная на этом от­рез­ке, то пло­щадь  со­от­вет­ству­ю­щей кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции равна при­ра­ще­нию пер­во­об­раз­ной на от­рез­ке, то есть:

Об­су­дим по­лу­чен­ную фор­му­лу (рис. 3).

 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

 6. Доказательство теоремы

До­ка­за­тель­ство: На от­рез­ке за­фик­си­ру­ем  и най­дем пло­щадь под кри­вой на от­рез­ке, то есть каж­до­му  ста­вит­ся в со­от­вет­ствие , вве­де­на новая функ­ция.

От­сю­да пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции рав­ня­ет­ся при­ра­ще­нию любой пер­во­об­раз­ной на от­рез­ке .

           

 7. Формула Ньютона-Лейбница

 – непре­рыв­ная на от­рез­ке .

            

Рис. 4. Непре­рыв­ная функ­ция

           

 8. Свойства определенного интеграла

          

           

 9. Решение примера на определенный интеграл, геометрическая интерпретация

При­мер:

Вы­чис­лить

Ре­ше­ние:

 .

По­яс­не­ние

Гео­мет­ри­че­ская ин­тер­пре­та­ция:

 

Рис. 5. Пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/ponyatie-opredelyonnogo-integrala-formula-nyutona-leybnitsa

http://www.youtube.com/watch?v=l-TwReh5zHc

http://www.youtube.com/watch?v=NxkxzYpqZ5M

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://test-training.ru/category/algebra-11-class

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы