11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Функция F называется первообразной для функции f ...

Комментарии преподавателя

 1. Повторение

На­по­ми­на­ние

Опре­де­ле­ние:

 – пер­во­об­раз­ная для , если .

Наша за­да­ча – найти пер­во­об­раз­ные.

За­да­ча (дана , найти )

Ре­ша­ет­ся по:

- таб­ли­це;

- трем пра­ви­лам отыс­ка­ния пер­во­об­раз­ных.

При­ве­дем при­мер.

При­мер:

Дано. Найти .

Ответ (таб­ли­ца).

Про­вер­ка

 – тоже пер­во­об­раз­ная.

Таким об­ра­зом, мы вы­яс­ни­ли, что для дан­ной функ­ции су­ще­ству­ет не толь­ко пер­во­об­раз­ная , но и се­мей­ство пер­во­об­раз­ных .

При­мер:

Дано. Найти .

Ответ (таб­ли­ца).

 – се­мей­ство пер­во­об­раз­ных.

Про­вер­ка.

За­ме­тим, что снова кроме одной пер­во­об­раз­ной имеем се­мей­ство пер­во­об­раз­ных.

 2. Теорема

Тео­ре­ма: Если  – пер­во­об­раз­ная для функ­ции  на про­ме­жут­ке , то у функ­ции  бес­ко­неч­но много пер­во­об­раз­ных, и все они имеют вид .

Дано: 

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Т. е.  - пер­во­об­раз­ная для .

Мы до­ка­за­ли, что, имея одну из пер­во­об­раз­ных, мы имеем мно­же­ство пер­во­об­раз­ных. Воз­мож­но, су­ще­ству­ет ка­кая-то пер­во­об­раз­ная, ко­то­рая не вхо­дит в это мно­же­ство.

Дано: 

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

То есть любая про­из­воль­ная пер­во­об­раз­ная вхо­дит в дан­ное мно­же­ство пер­во­об­раз­ных.

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 3. Другая формулировка этой же теоремы

Сде­ла­ем сле­ду­ю­щее за­ме­ча­ние.

Мы ис­поль­зо­ва­ли то, что если про­из­вод­ная от функ­ции равна 0, то эта функ­ция яв­ля­ет­ся по­сто­ян­ной.

Мы рас­смот­ре­ли важ­ное свой­ство пер­во­об­раз­ных. Дадим ему дру­гую фор­му­ли­ров­ку.

Тео­ре­ма: Любая пер­во­об­раз­ная функ­ции  на про­ме­жут­ке  может быть за­пи­са­на в виде

, где  – одна из пер­во­об­раз­ных для функ­ции  на про­ме­жут­ке  – про­из­воль­ная по­сто­ян­ная.

При­ме­ры:

а)                 б) 

Найти: общий вид пер­во­об­раз­ных.

Ответ:

а) ;

б) .

 4. Геометрический смысл этой теоремы

Рас­смот­рим гео­мет­ри­че­скую ин­тер­пре­та­цию изу­чен­но­го свой­ства пер­во­об­раз­ных.

Гра­фи­ки любых двух пер­во­об­раз­ных функ­ции  по­лу­ча­ют­ся друг из друга па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом вдоль оси .

Дано: Найти пер­во­об­раз­ную, гра­фик ко­то­рой про­хо­дит через точку .

Пер­во­об­раз­ных много, гра­фи­ков много, а нужно найти имен­но тот, ко­то­рый про­хо­дит через точку  (Рис. 1).

Ре­ше­ние:

Рис. 1. Гра­фик функ­ции, про­хо­дя­щей через точку 

Ответ: .

 5. Неопределенный интеграл

Опре­де­ле­ние: Если функ­ция  имеет на про­ме­жут­ке  пер­во­об­раз­ную , то мно­же­ство всех пер­во­об­раз­ных, т. е. мно­же­ство функ­ций  на­зы­ва­ет­ся неопре­де­лен­ным ин­те­гра­лом от функ­ции  и обо­зна­ча­ет­ся

 – подын­те­граль­ная функ­ция.

 6. Таблица неопределенных интегралов

Можно по­лу­чить таб­ли­цу неопре­де­лен­ных ин­те­гра­лов. Она по­лу­ча­ет­ся из таб­ли­цы пер­во­об­раз­ных.

 

 

 7. Свойства неопределенного интеграла

Если , то

 8. Примеры

(

Мы по­зна­ко­ми­лись с неопре­де­лен­ным ин­те­гра­лом. На сле­ду­ю­щем за­ня­тии мы нач­нем изу­че­ние опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/neopredelyonnyy-integral

http://www.youtube.com/watch?v=BTlPec1zul8

http://www.youtube.com/watch?v=CfXEUm9yvbI

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://test-training.ru/category/algebra-11-class

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html

 

 

Файлы