11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Первообразная. Общий вид первообразных.

ДАЛЬШЕ

Первообразная. Общий вид первообразных.

Комментарии преподавателя

1. Введение

Пример нахождения первообразной

Математические задачи, операции часто различаются как прямые и обратные. Например: сложение и вычитание, умножение и деление. Мы в последнее время занимались дифференцированием, то есть нахождением производных. На этом уроке мы займемся обратной операцией – интегрированием, или нахождением первообразных.

Прямая задача:

Дано: .

Найти:.

Пример:

Обратная задача:

Дано: .

Найти: .

Пример:

– первообразная для .

Строгое определение первообразной функции

Определение:

Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех выполняется равенство:

2. Рассмотрение задач на основе определения первообразной функции

Закрепим определение конкретными примерами.

Примеры:

– первообразная для , так как

, то есть

– первообразная для , так как

3. Таблица первообразных, проверка и обоснование

Вспомним, что для нахождения производных существовала таблица производных. Точно так же, для нахождения первообразных, имеется таблица первообразных, часть которой представлена далее (Табл. 1):

	Функция	Первообразная
1	0	1
2	1
3
4
5

Табл. 1. Таблица первообразных

Проверим рассмотренную часть таблицы, то есть проверим определение:

1.

2.

3.

4.

5.

Таким образом, эта часть таблицы проверена.

Продолжим изучение и обоснование таблицы. Следующая часть таблицы первообразных представлена ниже (Табл. 2):

	Функция	Первообразная
6
7
8
9
10

Табл. 2. Таблица первообразных (продолжение)

Полезно проверить, обосновать и доказать данную часть таблицы.

6.

7.

8.

9.

10.

Таблица обоснована.

4. Решение примеров и задач на определение первообразной

Теперь мы имеем определение первообразной и таблицу первообразных, обоснованную этим определением. Продолжим решение задач на определение первообразной.

Докажите:

а)

Доказательство:

б)

Доказательство:

Рассмотрим еще одну задачу.

Докажите:

Доказательство:

Напоминание:

1.

2.

Рассмотрим задачу с тангенсом.

Докажите:

Доказательство:

Рассмотрим задачу с косинусом.

Докажите:

Доказательство:

Рассмотрим аналогичную задачу с иррациональным выражением.

Докажите:

Доказательство:

Часть вторая. 1. Определение первообразной функции

Определение. Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех из выполняется равенство .

2. Методика нахождения первообразной на примерах

Несколько разъясняющих примеров:

– первообразная для

Чтобы это подтвердить, возьмем производную

первообразная для

Итак, мы привели 2 примера, которые подтверждают определение и используют его.

Напомним две задачи:

Прямая задача: Дана функция . Найти . Процесс называется дифференцированием.

Обратная задача: Дана функция – производная неизвестной функции Найти Процесс называется интегрированием.

Какие основные инструменты для нахождения первообразных?

3. Таблица первообразных

Нахождение

- таблице первообразных, которую мы повторим;

- правилам отыскания первообразных, которые мы изучим.

Таблица

Функция	Первообразная
0	1
1

Проверим:

Таким образом проверяются все строчки таблицы. То есть, выполняется соотношение: .

4. Правила отыскания первообразных с подтверждающими примерами

Переходим к правилам отыскания первообразных.

Правило 1.

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Дано:

Доказать:

Доказательство: что и требовалось доказать.

5. Пример 1

Функция состоит из двух функций. Найти первообразную функции:

Пример подтверждает правило 1.

Правило 2. (о постоянном множителе)

Дано:, то есть – первообразная для f, k – const.

Доказать: kF – первообразная для kf.

Доказательство:

Доказательство основывается на определении первообразной и на правиле дифференцирования: . Что и требовалось доказать.

Смысл правила: если мы знаем первообразную для f, то чтобы получить первообразную для kf, нужно первообразную Fумножить на k.

Подтверждающий пример:

Правило 3. Если – первообразная для функции, то первообразная для .

Дано:.

Доказать:

, что и требовалось доказать.

6. Пример 2

Если ,то

Проверка: ( ..

Необходимые пояснения: вместо мы имеем скобку (). Как это отражается на нахождении первообразной? Следующим образом: первообразная от но надо разделить на коэффициент при х.