11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

11 класс. Алгебра. Интеграл. Первообразная. Неопределенный и определенный интеграл.

Комментарии преподавателя

 1. Введение

При­мер на­хож­де­ния пер­во­об­раз­ной

Ма­те­ма­ти­че­ские за­да­чи, опе­ра­ции часто раз­ли­ча­ют­ся как пря­мые и об­рат­ные. На­при­мер: сло­же­ние и вы­чи­та­ние, умно­же­ние и де­ле­ние. Мы в по­след­нее время за­ни­ма­лись диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем, то есть на­хож­де­ни­ем про­из­вод­ных. На этом уроке мы зай­мем­ся об­рат­ной опе­ра­ци­ей – ин­те­гри­ро­ва­ни­ем, или на­хож­де­ни­ем пер­во­об­раз­ных.

Пря­мая за­да­ча:

Дано.

Найти:.

При­мер:

Об­рат­ная за­да­ча:

Дано.

Найти: .

При­мер:

  

 – пер­во­об­раз­ная для .

Стро­гое опре­де­ле­ние пер­во­об­раз­ной функ­ции

Опре­де­ле­ние:

Функ­цию  на­зы­ва­ют пер­во­об­раз­ной для функ­ции  на за­дан­ном про­ме­жут­ке , если для всех  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство:

 2. Рассмотрение задач на основе определения первообразной функции

За­кре­пим опре­де­ле­ние кон­крет­ны­ми при­ме­ра­ми.

При­ме­ры:

 – пер­во­об­раз­ная для , так как

 – пер­во­об­раз­ная для , так как

, то есть 

 – пер­во­об­раз­ная для , так как

 

 3. Таблица первообразных, проверка и обоснование

Вспом­ним, что для на­хож­де­ния про­из­вод­ных су­ще­ство­ва­ла таб­ли­ца про­из­вод­ных. Точно так же, для на­хож­де­ния пер­во­об­раз­ных, име­ет­ся таб­ли­ца пер­во­об­раз­ных, часть ко­то­рой пред­став­ле­на далее (Табл. 1):

 

Функ­ция 

Пер­во­об­раз­ная 

1

0

1

2

1

3

4

5

Табл. 1. Таб­ли­ца пер­во­об­раз­ных

Про­ве­рим рас­смот­рен­ную часть таб­ли­цы, то есть про­ве­рим опре­де­ле­ние:

1.  

2. 

3. 

4. 

5.  

Таким об­ра­зом, эта часть таб­ли­цы про­ве­ре­на.

Про­дол­жим изу­че­ние и обос­но­ва­ние таб­ли­цы. Сле­ду­ю­щая часть таб­ли­цы пер­во­об­раз­ных пред­став­ле­на ниже (Табл. 2):

 

Функ­ция 

Пер­во­об­раз­ная 

6

7

8

9

10

Табл. 2. Таб­ли­ца пер­во­об­раз­ных (про­дол­же­ние)

По­лез­но про­ве­рить, обос­но­вать и до­ка­зать дан­ную часть таб­ли­цы.

6.  

7. 

8. 

9.  

10.  

Таб­ли­ца обос­но­ва­на.

 4. Решение примеров и задач на определение первообразной

Те­перь мы имеем опре­де­ле­ние пер­во­об­раз­ной и таб­ли­цу пер­во­об­раз­ных, обос­но­ван­ную этим опре­де­ле­ни­ем. Про­дол­жим ре­ше­ние задач на опре­де­ле­ние пер­во­об­раз­ной.

До­ка­жи­те

 

а) 

До­ка­за­тель­ство:

б) 

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим еще одну за­да­чу.

До­ка­жи­те

 

До­ка­за­тель­ство:

На­по­ми­на­ние:

1. 

2. 

Рас­смот­рим за­да­чу с тан­ген­сом.

До­ка­жи­те

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим за­да­чу с ко­си­ну­сом.

До­ка­жи­те

 

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу с ир­ра­ци­о­наль­ным вы­ра­же­ни­ем.

До­ка­жи­те

До­ка­за­тель­ство:

 Часть вторая. 1. Определение первообразной функции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют пер­во­об­раз­ной для функ­ции  на за­дан­ном про­ме­жут­ке , если для всех  из  вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство .

 2. Методика нахождения первообразной на примерах

Несколь­ко разъ­яс­ня­ю­щих при­ме­ров:

 – пер­во­об­раз­ная для 

Чтобы это под­твер­дить, возь­мем про­из­вод­ную

 пер­во­об­раз­ная для 

Итак, мы при­ве­ли 2 при­ме­ра, ко­то­рые под­твер­жда­ют опре­де­ле­ние и ис­поль­зу­ют его.

На­пом­ним две за­да­чи:

Пря­мая за­да­ча: Дана функ­ция . Найти . Про­цесс на­зы­ва­ет­ся диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем.

Об­рат­ная за­да­ча: Дана функ­ция  – про­из­вод­ная неиз­вест­ной функ­ции Найти Про­цесс на­зы­ва­ет­ся ин­те­гри­ро­ва­ни­ем.

Какие ос­нов­ные ин­стру­мен­ты для на­хож­де­ния пер­во­об­раз­ных?

 3. Таблица первообразных

На­хож­де­ние 

- таб­ли­це пер­во­об­раз­ных, ко­то­рую мы по­вто­рим;

- пра­ви­лам отыс­ка­ния пер­во­об­раз­ных, ко­то­рые мы изу­чим.

Таб­ли­ца

Функ­ция 

Пер­во­об­раз­ная 

0

1

1

Про­ве­рим:

Таким об­ра­зом про­ве­ря­ют­ся все строч­ки таб­ли­цы. То есть, вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние: .

 4. Правила отыскания первообразных с подтверждающими примерами

Пе­ре­хо­дим к пра­ви­лам отыс­ка­ния пер­во­об­раз­ных.

Пра­ви­ло 1.

Пер­во­об­раз­ная суммы равна сумме пер­во­об­раз­ных.

Дано:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство: что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 5. Пример 1

Функ­ция со­сто­ит из двух функ­ций. Найти пер­во­об­раз­ную функ­ции:

При­мер под­твер­жда­ет пра­ви­ло 1.

Пра­ви­ло 2. (о по­сто­ян­ном мно­жи­те­ле)

Дано:, то есть  – пер­во­об­раз­ная для fk – const.

До­ка­зать: kF – пер­во­об­раз­ная для kf.

До­ка­за­тель­ство:

До­ка­за­тель­ство ос­но­вы­ва­ет­ся на опре­де­ле­нии пер­во­об­раз­ной и на пра­ви­ле диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния: . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Смысл пра­ви­ла: если мы знаем пер­во­об­раз­ную для f, то чтобы по­лу­чить пер­во­об­раз­ную для kf, нужно пер­во­об­раз­ную Fумно­жить на k.

Под­твер­жда­ю­щий при­мер:

Пра­ви­ло 3. Если  – пер­во­об­раз­ная для функ­ции, то  пер­во­об­раз­ная для .

Дано:.

До­ка­зать:

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

6. При­мер 2

Если  ,то 

Про­вер­ка: ( ..

Необ­хо­ди­мые по­яс­не­ния: вме­сто мы имеем скоб­ку (). Как это от­ра­жа­ет­ся на на­хож­де­нии пер­во­об­раз­ной? Сле­ду­ю­щим об­ра­зом: пер­во­об­раз­ная от но надо раз­де­лить на ко­эф­фи­ци­ент при х.

При­мер 1.

Найти одну из пер­во­об­раз­ных для функ­ции

a)      

Ре­ше­ние:

a

Ответ:

Про­вер­ка:..

При­мер 2.

Найти одну из пер­во­об­раз­ных для функ­ции

б)

Ре­ше­ние:

б)

Ответ:

Про­вер­ка: =

.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/pervoobraznaya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/pravila-otyskaniya-pervoobraznyh

http://www.youtube.com/watch?v=Drm_qFaEpks

http://www.youtube.com/watch?v=B5UTLOMzYBM

http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/5418/2f87298026d3cf2e17ad4aa4c42304bc.pptx

http://test-training.ru/tag/tri-pravila-nahozhdeniya-pervoobraznoy-test

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы