11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Показательные уравнения и неравенства.

Комментарии преподавателя

 1. Определение показательной функции, свойства, графики

Рас­смот­рим ос­нов­ное опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Функ­цию вида , где  и  на­зы­ва­ют по­ка­за­тель­ной функ­ци­ей.

На­при­мер:  и т. д.

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай, когда ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы: :

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции, ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы

Ос­нов­ные свой­ства дан­но­го се­мей­ства функ­ций:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции;

Если ар­гу­мент стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти, функ­ция стре­мит­ся к нулю, если ар­гу­мент стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти функ­ция стре­мит­ся также к плюс бес­ко­неч­но­сти.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы :

На­при­мер:  и т. д.

Рис. 2. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции, ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы

Свой­ства дан­но­го се­мей­ства функ­ций:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция убы­ва­ет, т. е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции;

Если ар­гу­мент стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти, функ­ция стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти, если ар­гу­мент стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти функ­ция стре­мит­ся к нулю.

 2. Решение элементарных показательных уравнений и неравенств

Ре­ше­ние по­ка­за­тель­ных урав­не­ний и нера­венств ос­но­вы­ва­ет­ся на свой­ствах по­ка­за­тель­ной функ­ции.

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние:

а) 

Ответ: , т. к. по­ка­за­тель­ная функ­ция при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния.

б) 

Ответ: , т. к. по­ка­за­тель­ная функ­ция при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния.

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

а) 

Ответ: , т. к. по­ка­за­тель­ная функ­ция при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния.

б) 

Ответ: , т. к. по­ка­за­тель­ная функ­ция при­ни­ма­ет стро­го по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния.

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2.б

 3. Простейшие показательные уравнения в общем виде, конкретные примеры

Рас­смот­рим про­стей­шие урав­не­ния и нера­вен­ства.

При­мер 3:

а)  (ри­су­нок 4)

б)  , т. к. функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния (ри­су­нок 4)

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 3

Рас­смот­рим про­стей­шие по­ка­за­тель­ные урав­не­ния в общем виде.

Ра­вен­ство по­ка­за­те­лей сте­пе­ни при рав­ных ос­но­ва­ни­ях обу­слов­ле­но свой­ством по­ка­за­тель­ной функ­ции, а имен­но ее мо­но­тон­но­стью. Это озна­ча­ет, что каж­дое свое зна­че­ние функ­ция при­об­ре­та­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ме­то­ди­ку ре­ше­ния по­ка­за­тель­ных урав­не­ний:

Урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ней;

При­рав­нять по­ка­за­те­ли сте­пе­ней;

На­при­мер:

При­мер 4 – ре­шить урав­не­ния:

а) 

б) 

 4. Показательная функция с основанием, большим единицы, методика решения неравенств

На­пом­ним свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим еди­ни­цы.

:

х – ар­гу­мент, неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная; у – функ­ция, за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная.

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции, ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы

Гра­фик функ­ции – экс­по­нен­та (рис. 1).

Ос­нов­ные свой­ства дан­но­го се­мей­ства функ­ций:

1. Об­ласть опре­де­ле­ния: .

2. Об­ласть зна­че­ний: .

3. Функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции.

4. Если ар­гу­мент стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти, функ­ция стре­мит­ся к нулю, если ар­гу­мент стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти функ­ция стре­мит­ся также к плюс бес­ко­неч­но­сти.

Мо­но­тон­ное воз­рас­та­ние функ­ций дан­но­го се­мей­ства яв­ля­ет­ся клю­чом к ре­ше­нию по­ка­за­тель­ных нера­венств, при усло­вии, что ос­но­ва­ние сте­пе­ни  боль­ше еди­ни­цы.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния по­доб­ных нера­венств:

1. Урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ней.

2. Срав­нить по­ка­за­те­ли, со­хра­нив знак нера­вен­ства.

 5. Показательная функция с основанием, меньшим единицы, методика решения неравенств

На­пом­ним свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции с ос­но­ва­ни­ем, мень­шим еди­ни­цы, но боль­шим нуля (рис. 2).

:

Рис. 2. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции, ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы.

Свой­ства дан­но­го се­мей­ства функ­ций:

1. Об­ласть опре­де­ле­ния: .

2. Об­ласть зна­че­ний: .

3. Функ­ция убы­ва­ет, т. е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции.

4. Если ар­гу­мент стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти, функ­ция стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти, если ар­гу­мент стре­мит­ся к плюс бес­ко­неч­но­сти функ­ция стре­мит­ся к нулю.

Мо­но­тон­ное убы­ва­ние функ­ций дан­но­го се­мей­ства яв­ля­ет­ся клю­чом к ре­ше­нию по­ка­за­тель­ных нера­венств, при усло­вии, что ос­но­ва­ние сте­пе­ни  мень­ше еди­ни­цы, но боль­ше нуля.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния по­доб­ных нера­венств:

1. Урав­нять ос­но­ва­ния сте­пе­ней.

2. Срав­нить по­ка­за­те­ли, из­ме­нив знак нера­вен­ства.

 6. Решение конкретных примеров

За­кре­пим при­ве­ден­ную ме­то­ди­ку ре­ше­ни­ем кон­крет­ных нера­венств.

При­мер 1:

а)

б) 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 1.б

Гра­фик функ­ции  и пря­мая  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми (4; 81). То есть  при . По усло­вию нам нужно опре­де­лить, когда , это вы­пол­ня­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда .

При­мер 2:

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 2

Гра­фик функ­ции  и пря­мая  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми (5; ). То есть  при . По усло­вию нам нужно опре­де­лить, когда , это вы­пол­ня­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда .

При­мер 3:

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру 3

Гра­фик функ­ции  и пря­мая  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми (-1;3). То есть  при . По усло­вию нам нужно опре­де­лить, когда . Это вы­пол­ня­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда .

При­мер 4:

Итак, мы рас­смот­ре­ли по­ка­за­тель­ную функ­цию, ее гра­фик и свой­ства, на­учи­лись ре­шать про­стей­шие по­ка­за­тель­ные урав­не­ния и нера­вен­ства, рас­смот­ре­ли про­стей­шие по­ка­за­тель­ные урав­не­ния в общем виде. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-prosteyshie-pokazatelnye-uravneniya

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-i-prosteyshie-pokazatelnye-neravenstva

http://www.youtube.com/watch?v=64VcODvVuhs

http://www.youtube.com/watch?v=JbkKC610l88

http://www.youtube.com/watch?v=dy717_SCA1o

http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/5342/0aaaa78c1b4ec923172aab8b0bbbba11.ppt

http://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-3-1-pokazatelynaya-funktsiya-ee-svoystva-i-grafik.html

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-pokazatelnaya-funktsiya.pdf

http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/pokazatelnaya/

 

 

Файлы